Расчетная задача. Механика и МКТ

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела: $$m_1 \vec{a}_1 = \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + m_1 \vec{g} + \vec{F}, \qquad m_2 \vec{a}_2 = m_2 \vec{g} + \vec{T}_2$$ В проекциях на оси: $$OX\,:\;\; m_1 a_1 = F - T_1, \qquad OY\,:\;\; m_2 a_2 = T_2 - m_2 g$$ Пусть $T_1 = T_2 = T$ — это сила натяжения лёгкой нити, $a_1 = a_2 = a$ (так как тела соединены нерастяжимой нитью).

Рассмотрим систему уравнений: $$m_1 a = F - T, \qquad m_2 a = T - m_2 g$$ $$m_1 a + m_2 a = F - T + T - m_2 g \implies (m_1 + m_2)a = F - m_2 g$$ Отсюда: $$m_1 a = F - m_2 (g+a)$$ $$m_1 = \frac{F - m_2 (g+a)}{a}$$ Если подставить численные данные, получим $m_1 = 4$ кг.

Ответ: $m_1 = 4$ кг.

Рассмотрим задачу в инерциальной системе отсчёта с опорой на поверхность Земли. Будем считать оба тела (грузы) материальными точками, потому что они движутся поступательно. Второй закон Ньютона запишем для каждого тела в векторной форме и спроецируем на координатные оси:

$$M \cdot \vec{a}_1 = \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + M \cdot \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{\text{тр}}, \qquad m \cdot \vec{a}_2 = m \cdot \vec{g} + \vec{T}_2,$$ $$OX: \quad M \cdot a_1 = -F + T_1 - F_{\text{тр}},$$ $$OY: \quad 0 = N_1 - M \cdot g, \qquad -m \cdot a_2 = T_2 - m \cdot g,$$

Поскольку $T_1 = T_2 = T$ (тела соединены невесомой нерастяжимой нитью через идеальный блок), а ускорения равны ($a_1 = a_2 = a$), подставляем выражения с ускорениями (второе уравнение умножаем на $-1$):

$$M a = T - F_{\text{тр}}, \qquad m a = m g - T$$

Сложив эти уравнения, получаем: $$(M + m) a = m g - F_{\text{тр}}$$

Учитываем, что сила трения $F_{\text{тр}} = \mu N_1$, где $N_1 = M \cdot g$:

$$F = m g - \mu (M + m) g$$

Если подставлять значения: $$F = 0{,}75 \cdot 10 - 0{,}25 \cdot 1 \cdot 10 - (1+0{,}75) \cdot 2 \cdot 1{,}5 = 1{,}5~\text{Н}$$

Ответ: $F = 1{,}5~\text{Н}$

Рассмотрим задачу в инерциальной системе отсчёта относительно Земли. Пусть груз — материальная точка, движущаяся поступательно. Запишем второй закон Ньютона для груза в векторной форме и проекциях на оси координат:

$$m \cdot \vec{a} = \vec{T} + m \cdot \vec{g}$$ Вдоль оси $OY$: $$m \cdot a = T - m \cdot g$$

Так как тело поднимается на лёгкой верёвке через идеальный блок, $T = F$, и трением пренебрегаем. Тогда: $$m (a + g) = F, \qquad m = \frac{F}{a + g}$$

Из графика видно, что при $F = 6$ Н ускорение $a = 0$ м/с$^2$, значит: $$m = \frac{6}{0 + 10} = 0{,}6~\text{кг}$$

Ответ: $m = 0{,}6~\text{кг}$

Силы $F_1$ и $F_2$, с которыми стержень давит на сосуд в точках $C$ и $B$, по третьему закону Ньютона равны силам, с которыми сосуд действует на стержень в этих же точках, то есть $F_1 = N_1,~ F_2 = N_2$.

На стержень действуют: сила тяжести $mg$, силы реакции левой стены $N_1$ и правой $N_2$. Оси координат направим, как на рисунке. Каждую из сил реакции $N$ разложим на горизонтальную и вертикальную составляющие:

По условию: $$F_{22} = N_{22} = 0{,}6~\text{Н}, \qquad F_1 = N_1 = 1~\text{Н}$$

Главная формула: $$N_1^2 = N_{11}^2 + N_{12}^2 \tag{1}$$ Искомая величина — вертикальная составляющая $F_{2y} = N_{21}$.

Рассмотрим стержень в равновесии. Сумма всех сил: $$m \vec{g} + \vec{N}_{11} + \vec{N}_{12} + \vec{N}_{21} + \vec{N}_{22} = 0$$

Для горизонтали: $$OX:~ N_{12} - N_{22} = 0, \quad N_{12} = N_{22} = 0{,}6~\text{Н}$$

Для вертикали: $$OY:~ -m g + N_{11} + N_{21} = 0$$ $$N_{21} = m g - N_{11}$$

Силу $N_{11}$ выразим из (1): $$N_{11} = \sqrt{N_1^2 - N_{12}^2}$$ $$N_{11} = \sqrt{1^2 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8~\text{Н}$$

Тогда: $$N_{21} = m g - \sqrt{N_1^2 - N_{12}^2}$$ Если $m g = 2~\text{Н}$: $$N_{21} = 2 - 0{,}8 = 1{,}2~\text{Н}$$

Ответ: $ 1{,}2 Н$

Для того чтобы удержать рычаг в горизонтальном положении, необходимо, чтобы моменты сил, направленных вниз, уравновешивались моментами сил, поднимающими рычаг вверх.

К силам, вращающим рычаг вниз, относятся:

• груз массой $M$ с моментом $M g b$,
• а также собственный вес балки $m$ с плечом $L/2$ и моментом $m g \frac{L}{2}$.

Сила $F$ создает момент $F L$, направленный вверх.

Составим уравнение моментов относительно оси вращения: $$M g b + m g \frac{L}{2} = F L$$

Отсюда сила $F$ выражается так: $$F = \frac{M g b}{L} + \frac{m g}{2}$$

Подставим значения: $$F = \frac{80 \cdot 10 \cdot 1}{4} + \frac{20 \cdot 10}{2} = 200 + 100 = 300~\text{Н}$$

Ответ: $F = 300~\text{Н}$