Молекулярная физика

Для начала рассмотрим силы, которые действует на шар, а именно на тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), силя тяжести шара, груза и гелия. Для удобства обозначим массу гелия, груза и оболочки за $M=m_\text{об}+m_\text{г}+m_\text{гр}+m_\text{п}+\Delta m_\text{г}$. Тогда подъемная сила $F_\text{под}$ будет равна: $$F_\text{под}=F_\text{А}-Mg$$ Стоит рассмотреть силу Архимеда $F_\text{А}=\rho_\text{воз}gV$, где $\rho_\text{воз}$ – плотность воздуха, $V$ – объём шара. Чтобы найти плотность воздуха запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$pV_\text{воз}=\nu_\text{воз} RT=\frac{m_\text{воз}}{M_\text{воз}}RT\Rightarrow p=\frac{\rho_\text{воз}RT}{M_\text{воз}}\Rightarrow \rho_\text{воз}=\frac{pM_\text{воз}}{RT}$$ где $p$ – давление воздуха, которое будет равно атмосферному давлению и будет равна давлению гелия в шаре, $T$ – температура воздуха, равная температуре гелия в шаре.
Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия: $$pV=\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{M_\text{г}}\Rightarrow V=\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{pM_\text{г}}$$ Тогда рассмотрим подъемную силу шара:
$$F_\text{под}=F_\text{А}-Mg=g\left(\rho_\text{воз}V-M\right)=g\left(\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})RT}{pM_\text{г}}\cdot\frac{pM_\text{воз}}{RT}-M\right)=g\left(\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})M_\text{воз}}{M_\text{г}}-M\right)$$ Тогда если, чтобы шар поднялся с ещё одним пассажира массой $m_\text{п}$ подъемная сила должна быть не отрицательной $F_\text{под}\geqslant0$, т.е. минимальное условие для полёта шара равно $F_\text{под}=0$, тогда должно выполнятся соотношение:
$$\frac{(m_\text{г}+\Delta m_\text{г})M_\text{воз}}{M_\text{г}}=M$$ Откуда находим минимальную массу гелия, который нужно добавить в шар:
$$\Delta m_\text{г}=\left(M-\frac{m_\text{г}M_\text{воз}}{M_\text{г}}\right)\cdot\left(\frac{M_\text{воз}}{M_\text{г}}-1\right)^{-1}=\left(m_\text{об}+m_\text{г}+m_\text{гр}+m_\text{п}-\frac{m_\text{г}M_\text{воз}}{M_\text{г}}\right)\cdot\left(\frac{M_\text{воз}}{M_\text{г}}-1\right)^{-1}=$$ $$=\left(400+100+225+50-\frac{100\cdot 29\cdot 10^{-3}}{4\cdot 10^{-3}}\right)\cdot\left(\frac{29\cdot 10^{-3}}{4\cdot 10^{-3}}-1\right)^{-1}=8\,\text{кг}$$

Ответ: 8 кг.

Для начала найдём массу каждого газа по отдельности, зная что масса смеси газов равна $m=m_\text{в}+m_\text{г}$: $$m_\text{в}=\frac{m}{2.5}=1.6\,\text{г}$$ $$m_\text{г}=m-m_\text{в}=4-1.6=2.4\,\text{г}$$ Тогда запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого газа, откуда выразим давление газа:
$$pV=\frac{mRT}{M}\Rightarrow p=\frac{mRT}{VM}$$ Тогда парциальное давление газа будет равно:
$$p_\text{г}=\frac{m_\text{г}RT}{VM_\text{г}}$$ $$p_\text{в}=\frac{m_\text{в}RT}{VM_\text{в}}$$ Тогда по закону Дальтона давление смеси газов:
$$p=p_\text{г}+p_\text{в}=\frac{m_\text{г}RT}{VM_\text{г}}+\frac{m_\text{в}RT}{VM_\text{в}}=\frac{RT}{V}\left(\frac{m_\text{г}}{M_\text{г}}+\frac{m_\text{в}}{M_\text{в}}\right)$$ Откуда выразим искомый объём сосуда: $$V=\frac{RT}{p}\left(\frac{m_\text{г}}{M_\text{г}}+\frac{m_\text{в}}{M_\text{в}}\right)=\frac{8.31\cdot300}{2\cdot10^5}\left(\frac{2.4}{4}+\frac{1.6}{2}\right)\approx0.0175\,\text{м}^3$$ Ответ: $V \approx0.0175\,\text{м}^3$

Для решения задачи обозначим длину верхней части сосуда за $d$, а нижнюю за $l-d$. Теперь рассмотрим силы, действующие в данной системе: на верхний поршень действует сила атмосферного давления $F_\text{а.}=p_0S_1$ и давления газа под поршнем $F_\text{г.}=pS_1$, на нижний поршень так же действует сила атмосферного давления $F_\text{а.}'=p_0S_2$ и давления газа под поршнем $F_\text{г.}'=pS_2$. Так же на каждый поршень действует сила тяжести, а так как поршни соединены, то обозначим их суммарную массу поршней за $m$, тогда суммарная сила тяжести для обоих поршней будет равна $F_\text{т.}=mg$.
Т.е условие равновесия для данной системы имеет вид: $\vec{F_1}+\vec{F_2}+\vec{F_3}+\vec{F_4}+m\vec{g}=0$ и так как стенки гладкие, внешнее давление и масса поршне не изменятся, то можно сделать вывод, что и при перемещении поршня.
Теперь рассмотрим объём сосуда в первом состоянии, он составит $V_1=dS_1+(l-d)S_2$, тогда по уравнению Менделеева-Клапейрона $$pV_1=\nu RT_1$$ Для второго состояния $V_2=(d-x)S_1+(l-d+x)S_2$, тогда по уравнению Менделеева-Клапейрона $$pV_2=\nu RT_2$$ И вычитая одно уравнение из другого получим:
$$p(V_2-V_1)=\nu R\Delta T\Rightarrow \Delta T=\frac{p(V_2-V_1)}{\nu R}=\frac{px(S_2-S_1)}{\nu R}=\frac{9\cdot10^4\cdot3\cdot10^{-2}\cdot(190-40)\cdot10^{-4}}{0.2\cdot8.31}\approx 24.4\,\text{К}$$

Ответ: $24.4\,\text{К}$

Для решения задачи заметим, что температуры воды и воздуха в пузырьке постоянна, поэтому можем считать процесс происходящий с газом в шаре изотермическим, тогда справедливо соотношение:
$$p_1V_1=p_2V_2$$ Причём в даном случае давление шара на дне озера $p_1$ равно $p_1=p_0+\rho gH$, а на глубине h $p_2=p_0+\rho gh$, тогда получим уравнение: $$(p_0+\rho gH)V_1=(p_0+\rho gh)V_2\Rightarrow H=\frac{(p_0+\rho gh)V_2-p_0V_1}{\rho gV_1}=\frac{(10^5+10^3\cdot10\cdot1)\cdot3\cdot10^{-6}-10^5\cdot2\cdot10^{-6}}{10^3\cdot10\cdot2\cdot10^{-6}}=6.5\,\text{м}$$

Ответ: $6.5\,\text{м}$

Для начала рассмотрим систему до того как откачали газ. В начале на поршень действовало две силы давления газа: сила давления газа в верхней части цилиндра $F_1=p_1S$, направленная вниз, и сила давления газа в нижней части цилиндра $F_2=p_2S$, направленная вверх. И так как поршень находится в равновесии, то выполняется второй закон Ньютона $mg+p_1S=p_2S$, где $p_1$ и $p_2$ – давления газа в верхней и нижней частях цилиндра соответственно, $m$ – масса поршня, $S$ – площадь поршня. Из этого уравнения видим, что давление газа в верхней части сосуда меньше, чем в нижней, а значит объём в верхней части сосуда больше, чем в нижней. А значит если объем газа в нижней части равно $V$, то в верхней части $2V$.
Далее воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева, согласно которому:
$$pV=\nu RT \Rightarrow p=\frac{\nu RT}{V}$$ Тогда давление в каждой части сосуда составит:
$$p_1=\frac{\nu RT}{2V} \quad\quad\quad p_2=\frac{\nu RT}{V}$$ Тогда массу груза можно найти по формуле из второго закона Ньютона:
$$mg=p_2S-p_1S=\frac{\nu RTS}{2V}$$ Далее перейдем к рассмотрению системы после откачки газа. В данном случае при откачке поршень будет подниматься вверх, до того момента, когда сила тяжести будет уравновешена силой давления газа в нижней части сосуда, тогда справедливо следующее уравнение из второго закона Ньютона:
$$mg=pS \Rightarrow p=\frac{mg}{S}=\frac{\nu RT}{2V}$$ Где $p$ – давление газа. Далее запишем уравнение Клапейрона — Менделеева, откуда объём газа в нижней части сосуда равен:
$$V'=\frac{\nu RT}{p}=2V$$ То есть в нижней части объем газа будет в 2 раза больше, чем в верхней и значит искомое отношение объема верхней части цилиндра к объему нижней части станет равным 0.5.
Ответ: 0.5.