Механика

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Стержень опишем моделью твердого тела.
3. Движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Палочка находится в равновесии, поэтому применимы условия равновесия $\sum M = 0$ и $\sum \vec{F} = 0$.
4. Ось, проходящая перпендикулярно плоскости рисунка через точку A - это ось, относительно которой будем записывать сумму моментов сил.
5. Так как нить невесомая, а блок идеален, то модуль силы натяжения нити одинаковый в каждой ее точке.

Перейдем к решению задачи. Запишем 2 закон Ньютона для тела M $$M\vec{a}=\vec{T_2}+M\vec{g}$$ Система находится в равновесии, поэтому ускорение a=0. В проекции на ось OX $$0=T_2-Mg \xrightarrow{} Mg=T_2$$ Теперь запишем сумму моментов сил относительно точки A $$M_1+M_2+M_3=0$$ где $M_1=m_1gl_1$ - момент силы тяжести для тела $m_1$, $M_2=m_2gl_2$ - момент силы тяжести для тела $m_2$, $M_3=-T_1l_3$ - момент силы натяжения нити.
Определим плечи для каждой силы. $$l_1 =b\sin(\alpha)$$ $$l_2=l\sin (\alpha)$$ $$l_3=l\sin(\alpha+\beta)=l\sin(2\alpha)$$ Следовательно $$m_1gb\sin(\alpha)+m_2gl\sin (\alpha)-T_1l\sin(2\alpha)=0$$ Выразим из этого уравнения длину l $$l = \frac{m_1gb\sin(\alpha)}{T_1\sin(2\alpha)-m_2g\sin(\alpha)}$$ Так как $T_1=T_2=T$, то $T_1=Mg$. Поэтому $$l = \frac{m_1gb\sin(\alpha)}{Mg\sin(2\alpha)-m_2g\sin(\alpha)}=\frac{0.2 \cdot 10 \cdot 0.25 \cdot 0.5}{0.1 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-0.1\cdot 10 \cdot 0.5}=68.3 \text{см}$$ Ответ: 68.3 см

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Цилиндр опишем моделью абсолютно твердого тела.
3. На цилиндр действуют сила тяжести и сила реакции опоры со стороны стенок. Так как цилиндр гладкий - сила трения отсутствует.
4. Для покоящегося тела применим I условие равновесия для поступательного движения $\sum \vec{F} = 0$

Перейдем к решению задачи. По третьему закону Ньютона модули сил давления цилиндра на стенки равны модулям сил реакции опоры каждой стенки. Запишем условие равновесия $$m\vec{g}+\vec{N_1} +\vec{N_2}=0$$ Спроецируем на вертикальную и горизонтальную оси $$\begin{cases} mg = N_1sin(\alpha)\\ N_2=N_1cos(\alpha) \end{cases}$$ Тогда найдем cos($\alpha$) $$cos(\alpha) = \frac{N_2}{N_1}=\frac{1}{n}=\frac{1}{3}$$ Теперь выразим массу цилиндра $$m = \frac{N_1sin(\alpha)}{g} = \frac{3N_2\sqrt{1-cos^2(\alpha)}}{g}=\frac{30\cdot \sqrt{1-\frac{1}{9}}}{10}=2.8 \text{кг}$$ Ответ: 2.8 кг

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Цилиндр опишем моделью абсолютно твердого тела.
3. На цилиндр действуют сила тяжести и сила реакции опоры со стороны стенок. Так как цилиндр гладкий - сила трения отсутствует.
4. Для покоящегося тела применим I условие равновесия для поступательного движения $\sum \vec{F} = 0$

Перейдем к решению задачи. По третьему закону Ньютона модули сил давления цилиндра на стенки равны модулям сил реакции опоры каждой стенки. Запишем условие равновесия $$m\vec{g}+\vec{N_1} +\vec{N_2}=0$$ Спроецируем на вертикальную и горизонтальную оси $$\begin{cases} mg = N_1sin(\alpha)\\ N_2=N_1cos(\alpha) \end{cases}$$ Разделим верхнее уравнение на нижнее, получим $$\frac{mg}{N_2} = tg(\alpha)$$ По условию $N_2 = \sqrt{3}mg$, тогда $$tg(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Откуда получаем, что $\alpha = 30^\circ$
Ответ: $\alpha = 30^\circ$

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Стержень опишем моделью абсолютно твердого тела.
3. Любое движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. В нашем случае тело покоится, поэтому применимы условия равновесия $\sum M = 0$ и $\sum \vec{F} = 0$.
   4.В качестве оси, относительно которой будем записывать сумму моментов сил, выберем ось, проходящую перпендикулярно плоскости рисунка через центр масс стержня (точку A).

Перейдем к решению задачи. Запишем сумму моментов сил относительно точки A $$F_{y1}\frac{L}{2}+mg \left(\frac{L}{2}-d\right) = F_{y2}\frac{L}{2}$$ Стержень расположен горизонтально, значит удлинения пружин равны. $$kx\frac{L}{2}+mg \left(\frac{L}{2}-d\right) = 2kx\frac{L}{2}$$ $$F_{y1} = kx = \frac{mg(L-2d)}{L}$$ Теперь запишем сумму моментов сил относительно точки Б $$kxL=Mg\frac{L}{2}+mgd$$ Откуда выражаем массу стержня $$M = \frac{kxL-mgd}{g\frac{L}{2}}=\frac{mg(L-2d)-mgd}{g\frac{L}{2}} = \frac{2m(L-3d)}{L}=\frac{2\cdot 3 (0.3 -3 \cdot 0.05)}{0.3}=3 \text{кг}$$ Ответ: 3 кг

Обоснование: Второй закон Ньютона: его применяют к каждому телу по отдельности (грузик и брусок), записывая уравнения движения вдоль выбранных осей. Это нужно, потому что силами (тяжестью, натяжением нити, реакцией опоры и трением) создаётся результирующее ускорение, а по нему и составляют уравнения.

Третий закон Ньютона: используется для связи сил в системе взаимодействующих тел (например, сила натяжения нити, действующая на разные части системы). Это обосновывает, что величины сил взаимодействия со стороны нити/троса одинаковы по модулю и противоположны по направлению, поэтому в уравнения входят согласованные силы.

Закон нерастяжимости нити (кинематическая связь): применяют, чтобы связать ускорения и перемещения грузика и бруска. Это необходимо, потому что нить заставляет систему двигаться согласованно: если один конец нити перемещается на величину, то другой конец меняется на связанную величину (а значит, и ускорения связаны).

Закон Амонтонa—Кулона для трения: берётся выражение силы трения через коэффициент трения и нормальную реакцию (в задачах на скольжение — кинетическое трение). Его применяют, потому что сопротивление движению бруска на горизонтальной/наклонной поверхности обусловлено трением, и сила трения входит в уравнение второго закона Ньютона.

Закон всемирного тяготения / постоянство g и покомпонентный учёт сил тяжести: вблизи поверхности Земли обычно принимают ускорение свободного падения постоянным, и вес используют в проекциях сил на выбранные оси. Это обосновывает корректность выражений для сил тяжести и реакций опоры (например, N находится из уравнения по вертикали при отсутствии вертикального ускорения).

Решение: Запишем уравнение движения груза массой $M$ в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $$Ma=Mg-2T,$$ откуда сила натяжения нити, перекинутой через подвижный блок, равна $$T=\frac{M}{2}(g-a).$$

Уравнение движения груза массой $m$ в проекции на горизонтальную ось, направленную влево, имеет вид: $$T-F_{\text{тр}}=ma_{\text{тр}}.$$

Поскольку в силу нерастяжимости нити смещения грузов массой $m$ и массой $M$ отличаются, очевидно, в два раза, то $$a_{\text{тр}}=2a.$$

По закону Амонтoна — Кулона при скольжении груза массой $m$ по горизонтальной плоскости $$F_{\text{тр}}=\mu N,$$ где сила нормального давления на плоскости равна $$N=mg.$$

Из написанных уравнений получаем: $$F_{\text{тр}}=\mu mg=T-\mu a_{\text{тр}}.$$

Тогда $$\mu=\frac{M}{2m}\left(1-\frac{a}{g}\right)-\frac{2a}{g} =\frac{2{,}5}{2}\left(1-\frac{2}{10}\right)-\frac{2}{10} =0{,}5-\;0{,}4=0{,}1.$$

Ответ: $0{,}1$.