Механика

Обоснование

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной.

Шарики имеют малые размеры по сравнению с длиной нитей, поэтому будем считать их материальными точками.

При пережигании нити пружина толкает оба шарика, действует на шарики внутренней силой — силой упругости, все внешние силы, действующие на систему двух шариков, направлены вертикально (силы тяжести и натяжения нитей), поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса шариков, поскольку импульс шариков направлен под $90^\circ$ к оси пружины.

В процессе движения каждого шарика на нити к верхней точке своей траектории на каждый из них действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Изменение механической энергии шарика в ИСО равно работе всех неотнциальных сил, приложеных к нему. В данному случае единственной силой является сила натяжения нити $\vec{T}$. Заметим, что в каждой точке траектории $\vec{T}$ перпендикулярна $\vec{v}$, где $\vec{v}$ — скорость шарика, поэтому работа силы $\vec{T}$ равна нулю, а механическая энергия каждого шарика на этом участке его движения сохраняется.

Перейдем к решению.

1. После пережигания нити шарики взаимодействуют друг с другом. По закону сохранения импульса $M_1v_1=M_2v_2$.

2. Шарики поднимаются на некоторую высоту. По закону сохранения энергии: $$\frac{M_1v_1^2}{2}=M_1gh_1,\ \ \text{где}\ \ h_1=L_1(1-\cos\alpha);$$ $$\frac{M_2v_2^2}{2}=M_2gh_2,\ \ \text{где}\ \ h_2=L_2.$$

Объединяя формулы, получаем: $$1-\cos\alpha=\frac{M_2^2L_2}{M_1^2L_1},$$ тогда второй шарик отклонится на: $$\alpha=\arccos\left(1-\frac{0{,}2}{2{,}25\cdot 1}\right) =\arccos\left(1-\frac{2}{2{,}25\cdot 0{,}9}\right)\approx 26^\circ.$$

Ответ: $26^\circ$.

Обоснование. Систему отсчета, связанную с Землей будем считать инерциальной. Стержень будем считать абсолютно твердым телом (формы и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным). Движение абсолютно твердого тела представляет собой суперпозицию поступательного и вращательного движений. Поэтому условия равновесия для него ровно два: одно для поступательного, а другое для вращательного движений. В инерциальной системе отсчета можно применить I условие равновесия покоящегося тела (векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю). Стержень является однородным, то есть имеет одинаковую плотность по всей длине. Поэтому центр тяжести стержня находится посередине. Ось, относительно которой будем рассматривать сумму моментов сил, проведем перпендикулярно плоскости чертежа через точку A

Переходим к решению.

1. Изобразим на рисунке силы, действующие на стержень, и систему координат $Ox$ и $Oy$. Здесь $\vec{l}$ — сила натяжения нити, $F_x$ и $F_y$ — вертикальная и горизонтальная составляющие силы, действующей на стержень со стороны шарнира.

2. В положении равновесия равна нулю сумма моментов сил, действующих на стержень, относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка, сумма горизонтальных сил и сумма вертикальных сил, действующих на стержень:

$$mg\cdot \frac{l}{2}\cos\alpha-T\cdot l\sin\alpha=0,$$ где $l$ — длина стержня;

$$F_x-T=0,$$

$$F_y-mg=0.$$

Получаем:

$$T=\frac{mg}{2}\ctg\alpha.$$

Окончательно:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{T^2+(mg)^2} =mg\sqrt{1+\left(\frac{ctg\alpha}{2}\right)^2} =mg\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} \approx 13{,}2\ \text{Н}.$$

Ответ: $F\approx 13{,}2$ Н.

Обоснование. Систему отсчета, связанную с неподвижной наклонной плоскостью, будем считать инерциальной. Движение бруска поступательное. Следовательно, его можно считать материальной точкой. Можно применить законы прямолинейного равномерного движения.

При движении бруска по наклонной поверхности на него действуют силы тяжести, трения и реакции опоры. В инерциальной системе отсчета применим второй закон Ньютона для описания движения бруска.

Перейдем к решению.

1. При движении вдоль наклонной плоскости на брусок массой $m$ действуют сила тяжести $mg$ (по вертикали вниз), сила нормального давления плоскости на брусок (перпендикулярная плоскости) и сила трения скольжения вдоль плоскости, равная согласно закону Амонтонa—Кулона $\mu N$.

2. Запишем векторные законы Ньютона в проекциях на направления перпендикулярно плоскости и вдоль нее вниз, получаем в первом случае, когда брусок скользит вверх: $$ma = N = mg\cos\alpha,$$ $$mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha,$$ где ускорение $a$ направлено против начальной скорости и по модулю равно $a=g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)$.

3. Во втором случае сила трения меняет направление (брусок скользит вниз), и получаем: $$a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)=g\cos\alpha(\tg\alpha-\mu)<0,$$ поскольку по условию $\tg\alpha=0{,}15<\mu=0{,}35$. Значит, ускорение по-прежнему направлено противоположно скорости, и брусок тормозится, но медленнее.

4. Согласно известной формуле из кинематики, путь тела до полной остановки при равнозамедленном движении равен $$s=\frac{v^2}{2a}.$$

5. Подставляя в это соотношение полученные выше выражения для ускорений с учетом их знаков, находим искомое отношение: $$\frac{s_2}{s_1}=\left|\frac{a_1}{a_2}\right| =\frac{\tg\alpha+\mu}{|\tg\alpha-\mu|} =\frac{0{,}15+0{,}35}{|0{,}15-0{,}35|} =2{,}5.$$

Ответ: во втором случае путь бруска до остановки будет в 2,5 раза больше, чем в первом.

Обоснование.

1. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).

2. Шайба движется поступательно, поэтому можно пренебречь моделью материальной точки. В ИСО движение материальной точки описываем вторым законом Ньютона.

3. Так как шайба движется по шероховатой поверхности, то действует сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$.

Перейдем к решению.

На шайбу действует сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости, внешняя сила $F$, направленная горизонтально параллельно нижнему ребру, и сила трения $F_{\text{тр}}$, направленная вдоль наклонной плоскости под углом к нижнему ребру.

Сила трения компенсирует силу тяжести на наклонную плоскость. В тот момент, когда удается сдвинуть шайбу, сила трения становится равной силе скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$. Выберем оси, как показано на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси: $$\begin{cases} Ox: F-F_{\text{тр}x}=0,\\ Oy: F_{\text{тр}y}-mg\sin\alpha=0,\\ Oz: N-mg\cos\alpha=0, \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} Ox: F_{\text{тр}x}=F,\\ Oy: F_{\text{тр}y}=mg\sin\alpha,\\ Oz: N=mg\cos\alpha. \end{cases}$$

Используя равенство $F_{\text{тр}}=\mu N$, получаем: $$\sqrt{F_{\text{тр}x}^2+F_{\text{тр}y}^2}=\mu N \Rightarrow \sqrt{F^2+(mg\sin\alpha)^2}=\mu mg\cos\alpha,$$ $$F=mg\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} \approx 0{,}5\cdot 10\cdot \sqrt{0{,}72\cdot 0{,}75-0{,}75} \approx 1{,}7\ \text{Н}.$$

Ответ: $1{,}7$ Н.

Обоснование.

1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

2. Размеры снаряда малы по сравнению с длиной траектории, поэтому снаряд можно описывать моделью материальной точки.

3. Ствол пушки при отдаче движется поступательно, поэтому его движение можно описывать движением материальной точки массой M.

4. Так как выстрел происходит мгновенно и в горизонтальном направлении не действуют\ никакие силы, то в этом направлении выполняется закон сохранения импульса для системы "Снаряд + пушка".

5. По условию задачи доля энергии отдачи пушки расходуется на сжатие пружины. Поэтому потенциальная энергия сжатой пружины равна этой доле кинетической энергии пушки сразу после выстрела.

6. После вылета из пушки снаряд будет двигаться только под действием силы тяжести (сопротивление воздуха в условиях данной задачи пренебрегаем), значит, будем описывать движение снаряда при помощи формул кинематики. При этом по вертикали тело движется равноускоренно с ускорением g поэтому движение будем описывать при помощи формул кинематики прямолинейного равноускоренного движения, по горизонтали никакие силы не действуют, поэтому движение будем описывать при помощи формул кинематики прямолинейного равномерного движения.

Решение.

Пусть $v_п$ и $v_с$ соответственно начальные скорости пушки и снаряда, $m_п$, $m_с$ массы пушки и снаряда. Энергия сжатой пружины равна $$\frac{kx^2}{2},$$ где $x$ — сжатие пружины, $k$ — жёсткость пружины. А кинетическая энергия тела находится по формуле: $$E_k=\frac{mv^2}{2},$$ где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость Энергия отдачи пушки равна $$\frac{m_{п} v_{п}^2}{2}=\frac{kx^2}{2\eta},$$

Откуда: $$m_{п}=\frac{kx^2}{v_{п}^2\eta}.$$

Найдём начальную скорость пушки. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса: $$m_nv_п=m_cv_с,$$ , следовательно: $$v_п=\frac{m_cv_с}{m_п}$$

Значит, $$m_п=\frac{kx^2 m_п^2}{v_c^2m_c^2\eta},$$

Откуда $$m_п=\frac{v_c^2m_c^2\eta}{kx^2}.$$

На снаряд действует только сила тяжести, поэтому время падения $t$ и высота $h$, с которой он падает связаны формулой: $$h(t)=v_0t+\frac{at^2}{2} \Rightarrow h=\frac{gt^2}{2},$$ откуда $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.$$

Где $v_0$ — начальная скорость тела, $t$ — время, $a$ — проекция ускорения. После выстрела на снаряд вдоль горизонтальной оси не действуют никакие силы, поэтому дальность полёта снаряда $L$ связана с горизонтальной составляющей скоростью $$v_c=\frac{L}{t}=\sqrt{\frac{g}{2h}}L.$$

Подставим выражение для скорости снаряда в выражение для массы пушки: $$m_п=\frac{gL^2 m_c^2\eta}{2h\,kx^2}.$$

Подставив численные значения в выражение, получим $m_p=1000$ кг

Ответ: 1000.