Механика

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Размеры шариков малы по сравнению с длиной нити, поэтому можем применить модель материальной точки.
3. При пережигании нити пружина толкает шарики, действуя на них силой упругости. Все внешние силы, действующие на шарики направлены вдоль вертикальной оси, импульсом пружины можем пренебречь из-за ее малой массы, поэтому применим закон сохранения импульса вдоль горизонтальной оси.
4. Сила натяжения нити перпендикулярна вектору скорости в каждой точки траектории шарика, поэтому ее работа равна нулю. Других непотенциальных сил действующих на шарики нет, поэтому применим закон сохранения энергии.
   Перейдем к решению задачи. Запишем проекцию закона сохранения импульса на горизонтальную ось $$0=-m_1v_1+m_2v_2$$ $$m_1v_1=m_2v_2$$ $$v_1 = \frac{m_2v_2}{m_1}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии $$\frac{m_1v_1^2}{2}=m_1gh_1 \text{, где } h_1 = L_1(1-cos(\alpha))$$ $$\frac{m_2v_2^2}{2}=m_2gh_2 \text{, где } h_2=L_2(1-cos(\alpha))$$ Поделим формулы друг на друга, тогда получим $$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{L_1}{L_2}$$ $$\frac{L_1}{L_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\frac{m_2^2v_2^2}{m_1^2}}{v_2^2} = \frac{m_2^2}{m_1^2}$$ Ответ: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{m_2^2}{m_1^2}$

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. На пулю внутри дула пистолета действуют сила тяжести и сила упругости. Силой трения можно пренебречь (так как дуло можно считать гладким). Силой сопротивления воздуха также можно пренебречь. Значит на пулю не действуют непотенциальные силы и применим закон сохранения энергии.
3. После вылета пули из дула на пулю действует только сила тяжести Земли, что также позволяет применить закон сохранения энергии. За нулевой уровень примем высоту расположения мишени
   Перейдем к решению задачи. Запишем закон сохранения энергии при вылете пули из дула пистолета $$E_{\text{пот}} = E_{\text{к0}}$$ где $E_{\text{пот}}$ - потенциальная энергия пружины, а $E_{\text{к0}}$ - кинетическая энергия пули сразу после вылета из дула пистолета $$\frac{kx^2}{2}=\frac{mv_0^2}{2}$$ Теперь рассмотрим дальнейшее движение пули $$E_{\text{п}}+E_{\text{к0}}=E_{\text{к1}}$$ где $E_{\text{п}}=mgh$ - потенциальная энергия пули, а $E_{\text{к1}}$ - кинетическая энергия пули перед столкновением с мишенью $$mgh+\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}$$ По условию пуля застряла в мишени совершив работу A=0,12 Дж $$\frac{mv_1^2}{2} = A$$ Объединяя все уравнения, получим $$\frac{kx^2}{2}+mgh=A$$ Откуда $$m = \frac{2A-kx^2}{2gh}=\frac{2\cdot 0.12-100\cdot0.02^2}{2\cdot 10 \cdot2} = 5\text{г}$$ Ответ: 5г

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Все тела считаем материальными точками.
3. Сопротивлением воздуха можем пренебречь
4. Считаем время разрыва снаряда малым, его импульс изменяется из-за действия больших сил, разрывающих снаряд, по сравнению с которыми сила тяжести мала и мы можем ей пренебречь. Тогда выполняется закон сохранения импульса системы тел.
5. Считаем время разрыва снаряда малым, поэтому пренебречь изменением потенциальной энергии снаряда и его осколков в поле тяжести.
6. В ИСО можем применить закон сохранения энергии с учетом энергии разрыва.
   Перейдем к решению задачи. Запишем закон сохранения импульса $$2m\vec{v} = m\vec{v_1}+m\vec{v_2}$$ $$2mv_0 = mv_1-mv_2$$ $$v_2 = v_1-2v_0$$ где m - масса одного осколка.
   Запишем закон сохранения энергии для системы тел $$E_{\text{к0}}+\Delta E = E_{\text{к1}}+E_{\text{к1}}$$ где $E_{\text{к0}}$ - кинетическая энергия снаряда до взрыва, $E_{\text{к1}}$ и $E_{\text{к1}}$ - кинетические энергии осколков $$\frac{2mv_0^2}{2} + \Delta E = \frac{mv_1^2}{2}+\frac{mv_2^2}{2}$$ $$v_0^2 + \frac{\Delta E }{m}= \frac{v_1^2}{2}+\frac{v_1^2-4v_1v_0+4v_0^2}{2}$$ $$\frac{\Delta E }{m} = v_1^2-2v_1v_0+v_0^2$$ $$\frac{\Delta E }{m} = (v_1-v_0)^2$$ $$v_1 = v_0+\sqrt{\frac{\Delta E}{m}} = 400+\sqrt{\frac{5\cdot 10^5}{2}}=900 \text{м/c}$$ Ответ: 900 м/с

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Груз можем считать материальной точкой.
3. Из п.1 и п.2 применим 2 закон Ньютона.
4. Балку опишем моделью твердого тела.
5. Веревка легкая, поэтому сила натяжения нити одинакова в каждой ее точке.
6. Балка находится в равновесии, поэтому применимы условия равновесия $\sum M = 0$ и $\sum \vec{F} = 0$.

Перейдем к решению задачи. Запишем условие моментов относительно точки А $$T_1d+Mgx - TL=0$$ $$Mg+T_1-2T=0$$ Запишем 2 закон Ньютона для груза $$m\vec{g}+\vec{T_1}=0$$ В проекции на вертикальную ось $$mg=T_1$$ Тогда подставим в правило моментов $$mgd+Mgx=(M+m)gL$$ Откуда $$x = \frac{(M+m)L -2md}{2M}=\frac{(100+60) \cdot 2 -2\cdot 60 \cdot 0.5}{2\cdot 100} = 1.3 \text{м}$$ Ответ: 1.3м

1. Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
2. Палочку опишем моделью твердого тела.
3. Палочка находится в равновесии, поэтому применимы условия равновесия $\sum M = 0$ и $\sum \vec{F} = 0$.
4. Стенки сосуда гладкие, значит трения нет. Поэтому в верхней точке стрежня на него действует сила $\vec{N}$, перпендикулярная стенке.

Перейдем к решению задачи. Найдем высоту палочки H $$H = \sqrt{L^2-(2R)^2} = \sqrt{0.1^2+4\cdot0.04^2} = 0.06 \text{м}$$ Определим объем погруженной части палочки $$\frac{ V_{\text{п.ч.}}}{V} = \frac{h}{H} \longrightarrow V_{\text{п.ч.}} = \frac{hV}{H}$$ Определим силу Архимеда, действующую на палочку $$F_A = \rho V_{\text{п.ч.}}g = \rho \frac{hV}{H}g=\frac{0.75 mgh}{H}$$ Теперь запишем правило моментов, относительно оси, проходящей через нижний край палочки $$mgR - F_A\frac{h}{2}ctg(\alpha) -NH=0$$ $$ctg(\alpha) = \frac{2R}{H}$$ $$mgR - \frac{0.75 mgh}{H}\frac{h}{2}\frac{2R}{H}=NH$$ $$N = \frac{mgR}{H}\left(1 - 0{,}75\left(\frac{h}{H}\right)^2\right) = \frac{9 \cdot 10^{-4} \cdot 10{,}0 \cdot 0{,}04}{0{,}06} \left(1 - 0{,}75\left(\frac{0{,}04}{0{,}06}\right)^2\right) = 4\,\text{мН}.$$ Далее, по третьему закону Ньютона $$F=N=4\,\text{мН}.$$ Ответ: 4 мН