Оптика

Линейное увеличение для изображения предмета тонкой линзой равно $\Gamma=\frac{b}{a}$ и в соответствии с формулой тонкой линзы $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=D$, где $b-$ расстояние от линзы до изображения, a $D-$ оптичесческая сила линзы,

$$\frac{1}{b}=D-\frac{1}{a},\quad b=\frac{a}{aD-1},\quad \Gamma=\frac{1}{aD-1}.$$

После замены линзы на другую при том же расстоянии $a$ выполняется аналогичное соотношение, в котором $\Gamma_2=n\Gamma$, а вместо $D$ стоит $D_2$:

$$n\Gamma=\frac{1}{aD_2-1}.$$

Выражая из этого соотношения оптическую силу второй линзы, получаем:

$$D_2=\frac{nF+1}{an\Gamma}=\frac{2{,}5\cdot 2+1}{0{,}25\cdot 2{,}5\cdot 2}=4{,}8\ \text{дптр}.$$

Ответ: $D_2=\frac{n\Gamma+1}{an\Gamma}=4{,}8\ \text{дптр}$.

1. По формуле тонкой линзы $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F}$ расстояние $b$ от нее до изображения источника равно

$$b=\frac{aF}{a-F}=30\ \text{см}=3F.$$

2.  Построим ход произвольного луча SA (см. рис.). После линзы его продолжение должно, как мы вычислили, попасть в точку 3F. В этом можно легко убедиться, используя стандартные правила построения хода лучей в тонкой линзе и геометрические соотношения: фиктивный луч, идущий параллельно лучу SA через оптический центр линзы, не преломляется и пересекается с преломленным лучом АВ в точке В на правой фокальной плоскости линзы. Туда же пришел бы и фиктивный луч, идущий параллельно лучу SA через левый фокус линзы, а после преломления  — параллельно оптической оси линзы. Простые геометрические соотношения с учетом численных данных из условия показывают, что на пути АВ преломленный луч опускается по вертикали на расстояние, равное 1/3 от АО, так что продолжение луча действительно пересекает ось в точке на расстоянии b = 3F от точки О.

3.  Отраженный от плоского зеркала под углом отражения, равным углу падения, луч ВС опускается при подходе к линзе, как следует из построения, еще на расстояние, равное 1/3 от АО. Проводя еще одну побочную оптическую ось DO параллельно лучу ВС в точку Е на левой фокальной плоскости линзы, направляем туда же преломленный луч СЕ. Из построения видно, что этот луч пересекает оптическую ось в точке S', находящейся на расстоянии ОS' = F/2 от линзы. Эта точка является изображением источника S, поскольку нужный для получения изображения второй луч идет вдоль оптической оси линзы до зеркала и обратно. Заметим, что без преломления в линзе продолжение луча ВС попало бы в точку F слева от линзы, то есть у линзы имелся бы мнимый источник в точке F. Поэтому по формуле тонкой линзы получается: $-\frac{1}{F}+\frac{1}{b'}=\frac{1}{F}$ откуда также получается $b' = OS' = \frac{1}{F}$, а расстояние $FS'=F-OS'=F/2$.

1. Таким образом, расстояние $SS'=SF+FS'=a-F+F/2=F=10\ \text{см}$.

Ответ: $SS'=F=10\ \text{см}$.

Изображение треугольника построено на рисунке.

Изображение точки B удобно найти как пересечение луча, проходящего через центр линзы и луча, падающего на линзу перпендикулярно главной оптической оси.

Изображение точки С находится в точности под изображением точки В. Положение изображения точки А легко определить из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}.$

Поскольку точка $A$ находится в двойном фокусе, то $d=2F$, а значит, и $f=2F$, то есть изображение точки $A$ также находится в двойном фокусе.

А кроме, легко понимать, что изображение треугольника вновь будет треугольником. Действительно, если пропустить луч через сторону $BA$, то после преломления на этом луче будут находиться изображения всех точек со стороны $BA$, то есть гипотенуза прямоугольного треугольника перейдет в гипотенузу треугольника-изображения.

Катеты треугольника $ABC$ равны

$$S=\frac{1}{2}h^2 \Rightarrow h=\sqrt{2S}=10\ \text{см}.$$

Найдем расстояние от линзы до изображения точки $C\ (d=2F+h)$:

$$f=\frac{dF}{d-F}=\frac{(10\ \text{см}+2\cdot 50\ \text{см})\cdot 50\ \text{см}}{10\ \text{см}+2\cdot 50\ \text{см}-50\ \text{см}}=\frac{275}{3}\ \text{см}.$$

Горизонтальный катет равен

$$a=2F-f=\frac{25}{3}\ \text{см}.$$

Из подобия треугольников для вертикального катета треугольника-изображения имеем

$$\frac{h}{b}=\frac{d}{f}\Rightarrow b=\frac{hf}{2F+h}=\frac{25}{3}\ \text{см}.$$

Таким образом, площадь треугольника изображения равна:

$$S'=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\left(\frac{25}{3}\right)^2\approx 35\ \text{см}^2.$$

Ответ: $S'\approx 35\ \text{см}^2$.

Лучии от точечного источника $S$, находящегося в фокальной плоскости собирающей линзы, после линзы образуют пучок параллельных лучей, идущих под таким углом $\alpha$ к главной оптической оси линзы, что $tg\alpha=\frac{l}{F}$ (здесь $F$ фокусное расстояние данной линзы).

Согласно закону отражения света, этот пучок отразится от плоского зеркала симметрично относительно перпендикуляра к зеркалу под тем же углом $\alpha=arctg\frac{l}{F}$ и пойдет в обратном направлении, к линзе (см. рис.).

После преломления в собирающей линзе этот параллельный пучок света превратится в сходящийся и сформирует в передней фокальной плоскости изображение $S'$ источника в виде точки, расположенной симметрично с $S$ относительно главной оптической оси, то есть также на расстоянии $l=2$ см от нее. Таким образом, искомое расстояние $SS'=2l=4$ см.

Ответ: $SS'=2l=4$ см.

Объектив телескопа строит действительное изображение Солнца в фокальной плоскости, поэтому диаметр $D_1$ созданного им изображения равен: $D_1=F_1\tg\alpha$. Ход лучей при получении изображения Солнца с помощью объектива и окуляра представлен на рисунке

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{D_1}{d}=\frac{D_2}{f},\quad D_2=\frac{D_1f}{d}=\frac{F_1\tg\alpha\,f}{d}\approx \frac{F_1\alpha f}{d}.$$

Расстояние $d$ от окуляра до изображения Солнца, построенного объективом, находим, используя формулу тонкой линзы:

$$d=\frac{fF_2}{f-F_2}=\frac{1,5\cdot 0,06}{1,5-0,06}=0,0625\ \text{м}.$$

Подставляя числовые значения величин, вычисляем диаметр изображения $D_2$ Солнца на экране:

$$\alpha=30'=0,5^\circ=\frac{2\pi\cdot 0,5}{360}=\frac{\pi}{360}\ \text{радиан},\quad D_2\approx 1,5\cdot \frac{\pi}{360}\cdot \frac{1,5}{0,0625}=\frac{\pi}{10}\approx 0,31\ \text{м}.$$

Ответ: $0,31$ м.