Оптика

Определим амплитуду колебаний. При гармонических колебаниях амплитуда, максимальная скорость и циклическая частота связаны соотношением $$v_M=A\omega=A\sqrt{\frac{g}{l}}.$$ Отсюда $$A=v_M\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Амплитуда $A_1$ колебаний смещения изображения груза на экране, расположенном на расстоянии $b$ от плоскости тонкой линзы, пропорциональна амплитуде $A$ колебаний груза, движущегося на расстоянии $a$ от плоскости линзы, то есть $$A_1=A\frac{b}{a}.$$

Расстояние $a$ определяется по формуле тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},$$ откуда $$a=b\frac{F}{b-F}$$ и $$\frac{b}{a}=\frac{b}{F}-1.$$ Следовательно, $$A_1=A\frac{b}{a}=v_M\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot(\frac{b}{F}-1) = 0,1\sqrt{\frac{2,5}{10}}\cdot(\frac{0,6}{0,2}-1) = 1.$$

Ответ: $1$ м.

Рыба видит комара, если существует световой луч от него, который, переломившись на границе раздела воздух — вода, попадет ей в глаз. Вода — среда оптически более плотная чем воздух, поэтому угол преломления всегда меньше, чем угол падения. Так как комар находится над самой водой, максимальное расстояние между комаром и рыбой определяется предельным углом преломления, который можно найти при помощи закона преломления Снеллиуса: $$\frac{1}{\sin\alpha_{\text{пред}}}=\frac{n}{1}.$$ Из рисунка видно, что расстояние между комаром и рыбой равно $$AK = \frac{H}{\cos\alpha_{\text{пред}}} =\frac{H}{\sqrt{1-\sin^2\alpha_{\text{пред}}}}= \frac{H}{\sqrt{1-1/n^2}} = \frac{Hn}{\sqrt{n^2-1}} = \frac{2\ \text{м}\cdot 1{,}33}{\sqrt{1{,}33^2-1}} \approx 3\ \text{м}.$$

Ответ: 3 м.

При колебаниях маятника максимальная скорость груза $v$ может быть определена из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2}=mgh,$$ где $h=l(1-\cos\alpha)=2l\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx \frac{l\alpha^2}{2}$, максимальная высота подъема груза. Максимальный угол отклонения

$$\alpha=\frac{A}{l},$$ где $A$ — амплитуда колебаний (амплитуда смещения). Отсюда

$$A=v\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Амплитуда $A_1$ колебаний смещения изображения груза на экране, расположенном на расстоянии $b$ от плоскости тонкой линзы, пропорциональна амплитуде $A$ колебаний груза, движущегося на расстоянии $a$ от плоскости линзы, то есть $$A_1=A\frac{b}{a}.$$

Расстояние $a$ определяется по формуле тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},$$ откуда $$a=b\frac{F}{b-F}\quad \text{и}\quad \frac{b}{a}=\frac{b}{F}-1.$$ Следовательно, $$A_1=A\frac{b}{a}=v_M\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot \left(\frac{b}{F}-1\right).$$

Отсюда: $$l=g\left(\frac{A_1F}{v(b-F)}\right)^{2}\approx 4{,}4\ \text{м}.$$

Ответ: $l\approx 4{,}4$ м.

Длина катетов $AC=BC=a=\sqrt{2S}=10\ \text{см}$. Поскольку точка $C$ располагается в двойном фокусе, ее изображение также попадет в двойной фокус. Длину $x$ горизонтального катета $A'C'$ изображения находим по формуле линзы (для этого надо понять, насколько далеко изображение $A'$ точки $A$ находится от двойного фокуса): $$\frac{1}{2F+a}+\frac{1}{2F-x}=\frac{1}{F},$$ откуда $$x=\frac{aF}{F+a}.$$ Длина вертикального катета $B'C'$ изображения равна $a$, так как он находится на двойном фокусном расстоянии от линзы.

Найдем площадь изображения: $$S_1=\frac{1}{2}A'C'\cdot B'C'=\frac{1}{2}\cdot\frac{aF}{F+a}\cdot a=\frac{10^2\cdot 50}{2\cdot(50+10)}\ \text{см}^2\approx 41{,}7\ \text{см}^2$$

Ответ: $S_1\approx 41{,}7\ \text{см}^2$.

Для решения задачи надо рассмотреть два случая: когда линза собирающая и когда она рассеивающая.

В первом случае изображение предмета может быть уменьшенным, только если оно действительное (и перевернутое). По формуле тонкой линзы записываем $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F}$, а, для уменьшения размеров изображения по сравнению с предметом имеем: $\frac{a}{b}=n$, где $b$ - расстояние от линзы до изображения. Отсюда $b=\frac{a}{n}$, $\frac{1}{F}=\frac{n+1}{a}$ и $F=\frac{a}{n+1}=\frac{60}{4}=15$ см

Во втором случае изображение мнимое, прямое, и по формуле тонкой линзы $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{F}$, где $b$ - расстояние от мнимого изображения предмета до рассеивающей линзы. При этом по-прежнему $\frac{a}{b}=n$, и получаем: $\frac{1}{F}=\frac{1-n}{a}$, $F=\frac{a}{1-n}=-\frac{60}{2}=-30$ см

Ответ: если линза собирающая, то $F=15$ см, если рассеивающая, то $F=-30$ см.