Первое начало термодинамики

Поскольку поршень может свободно двигаться, процесс передачи тепла газу происходит при постоянном давлении. При этом условие равновесия поршня: $$p=p_{\text{атм}}+\frac{mg}{S}.$$

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил: $$Q=\Delta U+A=p\Delta V+\frac{3}{2}\nu R\Delta T.$$

Идеальный газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона: $p\nu=\nu RT$. Следовательно, при постоянном давлении изменения объема и температуры связаны соотношением: $$p\Delta V=\nu R\Delta T.$$

Следовательно: $$Q=\frac{5}{2}p\Delta V,\quad откуда\quad \Delta V=\frac{2Q}{5p}.$$

Температура в начальном и конечном состояниях совпадает, а значит, давление и объем в начальном и конечном состояниях связаны соотношением: $$pV_0=p_{\text{атм}}\,(V_0+\Delta V),$$ откуда: $$V_0=\frac{p_{\text{атм}}}{p-p_{\text{атм}}}\,\Delta V=\frac{p_{\text{атм}}S}{mg}\cdot \frac{2Q}{5p}.$$

Таким образом, для температуры имеем: $$T_0=\frac{pV_0}{\nu R}=\frac{2p_{\text{атм}}SQ}{5mg\nu R} =\frac{2\cdot 10^5\cdot 0{,}02\cdot 3}{5\cdot 1\cdot 0{,}1\cdot 8{,}31} \approx 290\ \text{К}.$$

$$\text{Ответ: }290\ \text{К}.$$

Поскольку поршень может свободно двигаться, процесс отдачи тепла газом происходит при постоянном давлении: $$p=p_{\text{a}}+\frac{mg}{S}.$$

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил (несмотря на то, что тепло отнимают от газа, его можно считать переданным, но с отрицательным знаком): $$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+p\Delta V.$$

Идеальный газ подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона: $p\nu=\nu RT$. Следовательно, изменения объема и температуры при постоянном давлении связаны соотношением $$p\Delta V=\nu R\Delta T.$$

Следовательно, $$Q=\frac{5}{2}p\Delta V\Rightarrow \Delta V=\frac{2Q}{5p}.$$

Температура в начальном и конечном состояниях совпадает, а значит, давление и объем в начальном и конечном состояниях связаны соотношением $$pV_0=1{,}2p_a\left(V_0+\Delta V\right),$$ откуда $$V_0=\frac{2}{5}\cdot \frac{-Q}{p_a+\dfrac{mg}{S}}\cdot \frac{1{,}2p_a}{0{,}2p_a-\dfrac{mg}{S}}\approx 0{,}00245\ \text{м}^3.$$

Таким образом, для температуры имеем $$T_0=\frac{pV_0}{\nu R}\approx 296\ \text{К}.$$

$$\text{Ответ: }296.$$

Согласно первому началу термодинамики $Q=\Delta U+A$, где изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в процессе $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}(\nu RT_2-p_1V_1)$. Работа газа в данном процессе равна площади трапеции: $A=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)$. Согласно уравнению состояния идеального газа, то есть уравнению Клапейрона — Менделеева, неизвестное давление $p_2=\frac{\nu RT_2}{V_2}=\frac{1*8,31*500}{41,6*10^{-3}}\approx 10^5\ \text{Па}$. Таким образом:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\left(\nu RT_2-p_1V_1\right)=1{,}5\cdot\left(1\cdot 8{,}31\cdot 500-4{,}15\cdot 10^5\cdot 10^{-2}\right)=7{,}5\ \text{Дж},$$

$$A=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=\frac{4{,}15+1}{2}\cdot\left(41{,}6-10\right)\cdot 10^2=8137\ \text{Дж},$$

и окончательно получаем: $Q=\Delta U+A\approx 7{,}5+8137\approx 8145\ \text{Дж}$.

Ответ: $Q\approx 8145\ \text{Дж}$.

При изобарном расширении на участке 1–2 газ получает от нагревателя количество теплоты $Q_{12}$, а на участке 3–4 отдает холодильнику в изохорном процессе количество теплоты $Q_{34}$. На других участках теплообмен отсутствует. В соответствии с первым началом термодинамики работа газа за цикл $A$ равна разности количества теплоты, полученной от нагревателя и отданной холодильнику, а КПД теплового двигателя: $$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}.$$

Количество теплоты $Q_{12}$, полученное при изобарном расширении на участке 1–2, равно сумме увеличения внутренней энергии газа при увеличении его температуры и работы газа на этом участке: $Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}$. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна абсолютной температуре, и для 1 моль одноатомного газа $U=\frac{3}{2}\nu RT$, а ее изменение: $$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\frac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}.$$ Работа газа при изобарном расширении $A_{12}=p_1(V_2-V_1)$. Выражая ее через изменение температуры с помощью уравнения Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$, получаем: $$A_{12}=p_1(V_2-V_1)=\nu R\Delta T_{12}.$$ Отсюда: $$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{5}{2}\nu R\Delta T_{12}.$$ Отдаваемое количество теплоты $Q_{34}$ при изохорном охлаждении на участке 3–4 равно уменьшению внутренней энергии газа в этом процессе: $$Q_{34}=|\Delta U_{34}|=\frac{3}{2}\nu R|\Delta T_{34}|.$$ В итоге получаем: $$\eta=1-\frac{Q_{34}}{Q_{12}}=1-\frac{3|\Delta T_{34}|}{5\Delta T_{12}}.$$ Отсюда находим: $$\frac{\Delta T_{12}}{|\Delta T_{34}|}=\frac{3}{5(1-\eta)}=\frac{3}{5\cdot 0{,}5}=1{,}2.$$

Ответ: 1,2.