Первое начало термодинамики

Согласно первому началу термодинамики, в первом опыте процесс является изохорным (объём сосуда с закреплённым поршнем не меняется), а во втором опыте процесс происходит при постоянном давлении (изобарный процесс). Поэтому для количества теплоты в каждом опыте можно записать: $$Q_1 = \Delta U, \tag{1}$$ $$Q_2 = \Delta U + A, \tag{2}$$ где $\Delta U$ — приращение внутренней энергии газа (оно одинаково в обоих опытах, так как изменение температуры одно и то же), а $A$ — работа, совершённая газом во втором опыте.

Вычитая (1) из (2), получаем: $$Q_2 - Q_1 = A. \tag{3}$$

Во втором опыте газ совершает работу при изобарном расширении, поэтому: $$A = p \Delta V, \tag{4}$$ где $\Delta V$ — изменение объёма газа.

Используя уравнение Клапейрона–Менделеева, эту работу можно связать с изменением температуры газа: $$p \Delta V = \frac{m}{M} R \Delta T, \tag{5}$$ где $m$ — масса азота, $M$ — его молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ — искомое изменение температуры.

Из (3), (4) и (5) следует: $$Q_2 - Q_1 = \frac{m}{M} R \Delta T,$$ откуда $$\Delta T = \frac{(Q_2 - Q_1) M}{m R}. \tag{6}$$

Подставляя численные значения $Q_1 = 742$ Дж, $Q_2 = 1039$ Дж, $m = 1$ кг, $M = 0{,}028$ кг/моль и $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К), получаем: $$\Delta T = \frac{(1039 - 742)\cdot 0{,}028}{1 \cdot 8{,}31} \approx 1~\text{К}.$$

Ответ: $\Delta T \approx 1~\text{К}.$

1. Согласно уравнению состояния Менделеева — Клапейрона и выражению для внутренней энергии $U_1$ одного моля идеального одноатомного газа при температуре $T_1$ имеем: $$pV = \nu RT_1,\qquad U_1 = \frac{3}{2}RT_1 = \frac{3}{2}pV.$$

2. Среднеквадратичная скорость теплового движения атомов одноатомного газа равна $$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}},$$ поэтому с учётом уравнения Менделеева — Клапейрона $$\bar{v}_1 = \sqrt{\frac{3pV}{\mu}}.$$

3. Подставляя численные значения, получаем: $$\bar{v}_1 = \sqrt{\frac{3\cdot 10^5 \cdot 20\cdot 10^{-3}}{20\cdot 10^{-3}}} \approx 548~\text{м/с}.$$

4. Цилиндр теплоизолирован, следовательно, рассматриваемый процесс адиабатический, и по первому началу термодинамики $Q = 0 = \Delta U + A$. Отсюда: $$U_2 = U_1 - A = \frac{3}{2}pV - A = \frac{3}{2}RT_2,$$ а значит $$3RT_2 = 3pV - 2A.$$

5. В конечном состоянии неона: $$\bar{v}_2 = \sqrt{\frac{3RT_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{3pV - 2A}{\mu}}.$$

6. Подставляя данные задачи, находим: $$\bar{v}_2 = \sqrt{\frac{3\cdot 10^5 \cdot 20\cdot 10^{-3} - 2\cdot 500}{20\cdot 10^{-3}}} \approx 500~\text{м/с}.$$

7. Таким образом, $$\bar{v}_2 - \bar{v}_1 \approx 500 - 548 \approx -48~\text{м/с}.$$

Ответ: $\bar{v}_2 - \bar{v}_1 \approx -48~\text{м/с}.$

Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеального газа $pV=\dfrac{2}{3}N E_{\text{к}}$, где $p$ — давление, $V$ — объем, $N$ — число молекул газа, $E_{\text{к}}$ — средняя кинетическая энергия молекулы массой $m_0$, равная: $$E_{\text{к}}=\frac{m_0v^2}{2}.$$

По условию в проведенном с газом процессе $E_{\text{к}}=a\cdot V$, где $a=\text{const}$ — некоторый постоянный коэффициент. Таким образом: $$pV=\frac{2}{3}N E_{\text{к}}=\frac{2}{3}N a\cdot V \text{ или } p=\frac{2}{3}N a=\text{const},$$ то есть процесс являлся изобарическим.

Работа при изобарическом процессе равна $A=p\Delta V$. Подставляя сюда выражения для $p=\dfrac{2}{3}N a$ для и $\Delta V=\dfrac{\Delta E_{\text{к}}}{a}$ получаем: $$\Delta V=\frac{\Delta E_{\text{к}}}{a}=\frac{m_0\Delta v^2}{2a},$$ получаем с учетом того, что среднеквадратичная скорость атомов гелия выросла в процессе в $n$ раз: $$A=\frac{1}{3}Nm_0\left(v_2^2-v_1^2\right)=\frac{1}{3}M(n^2-1)v_1^2.$$

Подставляя числовые данные, получаем: $A=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 10^{-3}\cdot (4-1)\cdot 10^{6}=4\ \text{кДж}$.

$$\text{Ответ: }A=4\ \text{кДж}.$$

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа определяется только температурой газа: $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$.

Согласно условию, температура газа во время процесса обратно пропорциональна объему, то есть: $$T=\frac{a}{V},$$ где $a$ — коэффициент пропорциональности.

Таким образом: $$T_1V_1=T_2V_2.$$

Из уравнения состояния Клапейрона — Менделеева $p_1V_1=\nu RT_1$, имеем: $$V_1=\frac{\nu RT_1}{p_1},\quad p_2V_2=\nu RT_2,\quad V_2=\frac{\nu RT_2}{p_2}.$$

Следовательно: $$\frac{T_1^2}{p_1}=\frac{T_2^2}{p_2}.$$

$$T_2=T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}=600\ \text{К}\cdot \sqrt{\frac{10^5\ \text{Па}}{4\cdot 10^5\ \text{Па}}}=300\ \text{К}.$$

Окончательно, для внутренней энергии газа после расширения получаем: $$U=\frac{3}{2}\cdot 1\ \text{моль}\cdot 8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{(\text{моль}\cdot \text{К})}\cdot 300\ \text{К}\approx 3740\ \text{Дж}.$$

$$\text{Ответ: }U\approx 3740\ \text{Дж}.$$

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу про- внешних сил. $Q=\Delta U + A$. Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии определяется только изменением его температуры: $\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T$.

Согласно условию, процесс идет таким образом, что давление изменяется обратно пропорционально квадрату объема, то есть можно записать $p=\frac{\alpha^2}{V^2}$, где $\alpha$ — некоторая постоянная (константа выбрана таким образом для удобства дальнейшего изложе- ния). Обращая данное равенство получаем, что $V=\frac{\alpha}{\sqrt{p}}$.

Идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона — Менделеева:

$$pV=\nu RT \Rightarrow p\frac{\alpha}{\sqrt{p}}=\nu RT \Rightarrow \alpha\sqrt{p}=\nu RT,$$

Записав последнее выражение для начального и конечного состояний, после чего поделив одно на другое, получаем выраже- ние для конечной температуры:

$$T_2=T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}=600\ \text{К}\cdot\sqrt{\frac{10^5\ \text{Па}}{4\cdot10^5\ \text{Па}}}=300\ \text{К}.$$

Таким образом, количество теплоты, которое газ отдал при расширении, равно:

$$Q'=-\Delta U-A=\frac{3}{2}\cdot 1 \cdot 8{,}31\ \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}\cdot(600\ \text{К}-300\ \text{К})- 2493\ \text{Дж}\approx 1247\ \text{Дж}.$$

Ответ: Q' $\approx 1247$ Дж.