Законы сохранения

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. Для материальных точек в инерциальной системе отсчета за малый промежуток времени применим сохранения импульса.

Решение:
Перед решением задачи введём систему координат $Oxy$, центр которой совпадает с точкой старта первого шарика.
Тогда так как действие силы сопротивления воздуха мала и тела движется только в поле силы тяжести, то запишем кинематические уравнения движения, описывающие их:
$$y_1=v_0t\sin{\alpha}-\frac{gt^2}{2}$$ $$x_1=v_0t\cos{\alpha}$$ $$v_{y1}=v_0\sin{\alpha}-gt$$ $$v_{x1}=v_0\cos{\alpha}$$ $$v_{y2}=-gt$$ Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $Ox$: $$2mu_x=mv_{x1}\Rightarrow u_x=\frac{v_x}{2}=\frac{v_0\cos{\alpha}}{2}$$ где $u_x$–скорость шариков после соударения. Теперь запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось $Oy$ (их сумма будет равна нулю так как после соударения скорости шариков были направлены горизонтально): $$p_1+p_2=0\Rightarrow mv_{y1}+mv_{y2}=0\Rightarrow v_{y1}=-v_{y2}\Rightarrow v_0\sin{\alpha}-gt=gt$$ Тогда если выразить из получившегося уравнения время, получим время до столкновения шариков:
$$t_1=\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}$$ И поставить это время в выражения для высоты полёта первого шарика $y_1$ получим высоту на которой произошло столкновение:
$$h=y_1(t_1)=v_0\cdot\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}-\frac{g}{2}\cdot\left(\frac{v_0\sin{\alpha}}{2g}\right)^2=\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{8g}$$ И так как проекция вертикальной скорости в момент после соударения равна нулю, то модем рассматривать движение каждого шара, как движение тела брошенного с высоты $h$ имея только горизонтальную скорость $u_x$, в этом случае время падения вычисляется по формуле: $$t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{3v_0^2\sin^2{\alpha}}{4g\cdot g}}=\frac{\sqrt{3}\cdot v_0\sin{\alpha}}{2g}$$ Теперь вычислим дальности полёта шариков до и после столкновения: До удара: $$L_1=v_xt_1=v_0t_1\cos{\alpha}=\frac{v_0^2\sin{2\alpha}}{4g}$$ После удара: $$L_1=u_xt_2=\frac{v_0\cos{\alpha}}{2}t_2=\frac{\sqrt{3}v_0^2\sin{2\alpha}}{8g}$$ И так как дальность полёта $L=L_1+L_2$, то объединяя формулы выразим искомую скорость $v_0$: $$v_0=\sqrt{\frac{8Lg}{(2+\sqrt{3})\sin{2\alpha}}}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. На тело после отрыва действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
4. В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
5. Малый деформации пружины можно считать упругими, а значит к пружине применим закон Гука.

Решение:
Для решения задачи примем за 0 потенциальный уровень высоту полностью растянутой пружины. А растяжение пружины будем считать относительно её нерастянутого состояния, тогда если повесить на ней груз, то она растянется на $x_1$, а после того как часть груза отделится и система начнёт колебаться и груз подлетит на максимальную высоту, тогда длина пружины составит $x_2$. Разница между $x_1$ и $x_2$ и будет наша искомая максимальная высота $h$, на которую поднялся груз после отделения части, и справедливо равенство $h=x_1-x_2$.
Так же изобразим силы, действующие на груз в начальном состоянии, а именно силу упругости $F_\text{упр}$ и силу тяжести $(M+m)g$, где $M$–начальная масса груза, а $m$–масса отделившейся части.

Далее запишем второй закон Ньютона для начального состояния в проекции на вертикальную ось и получим: $$(M+m)g=F_\text{упр}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{(M+m)g}{k}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии, а именно в начально состоянии пружина обладала потенциальной энергией $E_\text{п1}=\frac{kx_1^2}{2}$, а в конечном $E_\text{п2}=\frac{kx_2^2}{2}$ и так груз поднялся на высоту $h$, то он обладает потенциальной энергией $E_h=Mgh$, тогда получим равенство: $$E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_h \Rightarrow \frac{kx_1^2}{2}=\frac{kx_2^2}{2}+Mgh$$ Объединяя все формулы и учитывая, что $x_2=x_1-h=\frac{(M+m)g}{k}-h$, получим: $$h=\frac{2mg}{k}=\frac{2\cdot0.6\cdot10}{400}=0.03\,\text{м}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. На тело после отрыва действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
4. В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
5. Малый деформации пружины можно считать упругими, а значит к пружине применим закон Гука.

Решение:
Для решения задачи примем за 0 потенциальный уровень высоту полностью растянутой пружины. А растяжение пружины будем считать относительно её нерастянутого состояния, тогда если повесить на ней груз, то она растянется на $x_1$, а после того как часть груза отделится и система начнёт колебаться и груз подлетит на максимальную высоту, тогда длина пружины составит $x_2$. Разница между $x_1$ и $x_2$ и будет наша искомая максимальная высота $h$, на которую поднялся груз после отделения части, и справедливо равенство $h=x_1-x_2$.
Так же изобразим силы, действующие на груз в начальном состоянии, а именно силу упругости $F_\text{упр}$ и силу тяжести $(M+m)g$, где $M$–начальная масса груза, а $m$–масса отделившейся части.

Далее запишем второй закон Ньютона для начального состояния в проекции на вертикальную ось и получим: $$(M+m)g=F_\text{упр}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{(M+m)g}{k}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии, а именно в начально состоянии пружина обладала потенциальной энергией $E_\text{п1}=\frac{kx_1^2}{2}$, а в конечном $E_\text{п2}=\frac{kx_2^2}{2}$ и так груз поднялся на высоту $h$, то он обладает потенциальной энергией $E_h=Mgh$, тогда получим равенство: $$E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_h \Rightarrow \frac{kx_1^2}{2}=\frac{kx_2^2}{2}+Mgh$$ Объединяя все формулы и учитывая, что $x_2=x_1-h=\frac{(M+m)g}{k}-h$, получим: $$m=\frac{hk}{2g}=\frac{0.03\cdot400}{2\cdot10}=0.6\,\text{кг}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. На тело после отрыва действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
4. В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
5. Малый деформации пружины можно считать упругими, а значит к пружине применим закон Гука.

Решение:
Для решения задачи примем за нулевой потенциальный уровень положение верхней шайбы в начальный момент. А растяжение пружины будем считать относительно ей нерастянутого состояния, тогда в начальном положении растяжении пружины было $x_1$, а после того как груз скинут, то пружины окажется в растянутом состоянии и её длина составит $x_2$. Суммой $x_1$ и $x_2$ и будет высота $h$, на которую поднялся верхняя шайба после скидывания груза, и справедливо равенство $h=x_1+x_2$.
Так же изобразим силы, действующие на верхнюю шайбу в начальном состоянии, а именно силу упругости $F_\text{упр1}$ и силу тяжести $(M+m)g$ и силы, действующие на нижнюю шайбу плосле скидывания груза, а именно силу тяжести $Mg$, силу реакции опоры $N$ и силу упругости $F_\text{упр2}$.

Далее запишем второй закон Ньютона для верхней шайбы в начальном состоянии, в проекции на вертикальную ось и получим: $$(M+m)g=F_\text{упр}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{(M+m)g}{k}$$ Теперь запишем второй закон Ньютона для нижней шайбы в проекции на вертикальную ось и получим: $$Mg=F_\text{упр}+N=kx_2+N\Rightarrow x_2=\frac{Mg-N}{k}$$ И в момент отрыва нижней шайбы сила реакции опоры будет равна нулю $N=0$, и тогда мы получим: $$x_2=\frac{Mg}{k}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии, а именно в начально состоянии система обладала потенциальной энергией $E_\text{п1}=\frac{kx_1^2}{2}$, а в конечном $E_\text{п2}=\frac{kx_2^2}{2}$ и так груз поднялся на высоту $h$, то он обладает потенциальной энергией $E_h=Mgh$, тогда получим равенство: $$E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_h \Rightarrow \frac{kx_1^2}{2}=\frac{kx_2^2}{2}+Mgh\Rightarrow \frac{k}{2}(x_1^2-x_2^2)=Mgh\Rightarrow\frac{k}{2}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=Mgh\Rightarrow\frac{k(x_1-x_2)}{2}=Mg$$ Объединяя все формулы, получим: $$M=\frac{m}{2}=\frac{1}{2}=0.5\,\text{кг}$$

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как движение тел поступательное, то к ним применима модель материальной точки.
3. На тело после отрыва действует только потенциальная сила тяжести, работа непотенциальных сил равна нулю, следовательно можем применить закон сохранения энергии.
4. В ИСО для описание материальной точки можем применять второй закон Ньютона.
5. Малый деформации пружины можно считать упругими, а значит к пружине применим закон Гука.

Решение:
Для решения задачи примем за нулевой потенциальный уровень положение верхней шайбы в начальный момент. А растяжение пружины будем считать относительно ей нерастянутого состояния, тогда в начальном положении растяжении пружины было $x_1$, а после того как груз скинут, то пружины окажется в растянутом состоянии и её длина составит $x_2$. Суммой $x_1$ и $x_2$ и будет высота $h$, на которую поднялся верхняя шайба после скидывания груза, и справедливо равенство $h=x_1+x_2$.
Так же изобразим силы, действующие на верхнюю шайбу в начальном состоянии, а именно силу упругости $F_\text{упр1}$ и силу тяжести $(M+m)g$ и силы, действующие на нижнюю шайбу после скидывания груза, а именно силу тяжести $Mg$, силу реакции опоры $N$ и силу упругости $F_\text{упр2}$.

Далее запишем второй закон Ньютона для верхней шайбы в начальном состоянии, в проекции на вертикальную ось и получим: $$(M+m)g=F_\text{упр}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{(M+m)g}{k}$$ Теперь запишем второй закон Ньютона для нижней шайбы в проекции на вертикальную ось и получим: $$Mg=F_\text{упр}+N=kx_2+N\Rightarrow x_2=\frac{Mg-N}{k}$$ И в момент отрыва нижней шайбы сила реакции опоры будет равна нулю $N=0$, и тогда мы получим: $$x_2=\frac{Mg}{k}$$ Теперь запишем закон сохранения энергии, а именно в начально состоянии система обладала потенциальной энергией $E_\text{п1}=\frac{kx_1^2}{2}$, а в конечном $E_\text{п2}=\frac{kx_2^2}{2}$ и так груз поднялся на высоту $h$, то он обладает потенциальной энергией $E_h=Mgh$, тогда получим равенство: $$E_\text{п1}=E_\text{п2}+E_h \Rightarrow \frac{kx_1^2}{2}=\frac{kx_2^2}{2}+Mgh\Rightarrow \frac{k}{2}(x_1^2-x_2^2)=Mgh\Rightarrow\frac{k}{2}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=Mgh\Rightarrow\frac{k(x_1-x_2)}{2}=Mg$$ Объединяя все формулы, получим: $$m=2M=2\cdot0.2=0.4\,\text{кг}$$