Дробно-рациональные функции

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-x - \dfrac{289}{x}\right)' = -1 + \dfrac{289}{x^2} = \frac{289 - x^2}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{289 - x^2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 289 \Rightarrow x = \pm 17$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=17$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-x - \dfrac{1}{x}\right)' = -1 + \frac{1}{x^2}=\frac{1 - x^2}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{1 - x^2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=-1$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x + \dfrac{25}{x}\right)' = 1 - \dfrac{25}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$1 - \dfrac{25}{x^2} =\frac{x^2 - 25}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm5$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,5]$ и возрастает на $[5,10]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=5$: $$y(5) = 5 + \dfrac{25}{5} = 10$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x + \dfrac{25}{x}\right)' = 1 - \dfrac{25}{x^2}$$

2. Найдём нули производной на отрезке: $$1 - \dfrac{25}{x^2} = 0 = \frac{x^2 - 25}{x^2}\Rightarrow x = \pm5$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-10,-5]$ и убывает на $[-5,-1]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=-5$: $$y(-5) = -5 + \dfrac{25}{-5} = -10$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{16}{x} + x + 3\right)' = -\dfrac{16}{x^2} + 1$$

2. Найдём нули производной: $$-\dfrac{16}{x^2} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 16}{x^2} =0\Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=-4$.