Дробно-рациональные функции

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{25}{x} + x + 25\right)' = -\dfrac{25}{x^2} + 1$$

2. Найдём нули производной: $$-\dfrac{25}{x^2} + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=5$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x + \dfrac{36}{x}\right)' = 1 - \dfrac{36}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$1 - \dfrac{36}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 36}{x^2} =0\Rightarrow x = \pm6$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,6]$ и возрастает на $[6,9]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=6$: $$y(6) = 6 + \dfrac{36}{6} = 12$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x + \dfrac{9}{x}\right)' = 1 - \dfrac{9}{x^2}$$

2. Найдём нули производной на отрезке: $$1 - \dfrac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0\Rightarrow x = \pm3$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-4,-3]$ и убывает на $[-3,-1]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=-3$: $$y(-3) = -3 + \dfrac{9}{-3} = -6$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{x}{x^2+289}\right)' = -\frac{1\cdot(x^2+289) - x\cdot2x}{(x^2+289)^2} = \frac{x^2-289}{(x^2+289)^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{x^2-289}{(x^2+289)^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 289 \Rightarrow x = \pm 17$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=-17$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{x}{x^2+1}\right)' = -\frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x^2+1)^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{x^2 - 1}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=1$.