Движение по прямой

Так как автомобили встретились на расстоянии $180$км от города $B$, автомобиль выехавший из города $A$ проехал $330 - 180 = 150$км. за 3 часа.

Тогда его скорость равна: $$v = \frac{s}{t} = \frac{150}{3} = 50 \text{ км/ч.}$$

Пусть $t$ — время движения второго автомобиля до встречи. Тогда первый автомобиль ехал $t + 1$ час. В сумме оба автомобиля преодолеют расстояние между городами $A$ и $B$ при встрече:$$60(t + 1) + 65t = 435 \Leftrightarrow 60t + 60 + 65t = 435 \Leftrightarrow 125t = 375 \Leftrightarrow t = 3$$

Так как первый автомобиль следовал из города $A$, расстояние от города $A$ до места встречи равно: $$60 \cdot (3 + 1) = 240 \text{ км}$$

Пусть $x$ — скорость первого автомобиля. Время движения первого автомобиля до встречи: $$\frac{350}{x} \text{ часов}$$

Время движения второго автомобиля до встречи: $$\frac{350}{x} - 3 \text{ часов}$$

В сумме оба автомобиля преодолеют расстояние между городами $A$ и $B$ при встрече. Составим на основе этого уравнение: $$350 + 60\left(\frac{350}{x} - 3\right) = 470 \Leftrightarrow 350 + \frac{21000}{x} - 180 = 470 \Leftrightarrow \frac{21000}{x} = 300 \Leftrightarrow x = 70$$

Так как расстояние между городами нам незивестно, примем его за 1. Обозначим за t время, которое был в пути велосипедист. Тогда мотоциклист был в пути $t - 3$ часов ($t > 3$).

По условию задачи мотоциклист и велосипедист втретились спустя $48$ минут после начала движения. Суммарное расстояние которое они преодолеют при встрече равно расстоянию между городами.

Тогда:

$$\left(\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 3}\right)\cdot\frac{48}{60} = 1 \Leftrightarrow \left(\frac{t - 3 + t}{t^2 - 3t}\right)\cdot\frac{48}{60} = 1 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(2t - 3)\cdot0,8}{t^2 - 3t} = 1 \Leftrightarrow 10t^2 - 46t +24 = 0\Leftrightarrow5t^2 - 23t + 12 = 0$$

$$t = 4, \quad t = \frac{3}{5}$$

По условию $t > 3$

Пусть $S$ – расстояние между городами $A$ и $C$, а $x$ – скорость автомобиля, t – время в пути мотоциклиста от $A$ до $C$.

Запишем систему уравнений согласно условию задачи:

$$\begin{cases} (2t + 0,5)x = 150 \\ (t + 0,5)x = 90t \end{cases}$$ Поделим второе уравнение на первое: $$\begin{cases} (2t + 0,5)x = 150 \\ \frac{t + 0,5}{2t + 0,5} = \frac{90t}{150} \end{cases}$$ Рассмотрим отдельно второе уравнение: $$\frac{t + 0,5}{2t + 0,5} = \frac{90t}{150} \Leftrightarrow \frac{2t + 1}{2t + 0,5} = \frac{6t}{5} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 10t + 5 = 12t^2 + 3t \Leftrightarrow 12t^2 - 7t - 5 = 0$$ Решая квадратное уравнение получаем корни:

$$t = 1, \quad -\frac{5}{12}$$

По смыслу нам подходит только $t = 1$.

Найдём $S$:

$$S = t\cdot90 = 1\cdot 90 = 90$$