Графики функций и их производных

Решение уравнения $f'(x) = 0$ является точкой экстремума функции $f(x)$, то есть точкой, в которой функция меняет свою монотонность. Всего на отрезке $[0; 8]$ есть 3 такие точки: $1, 4, 6;$

Производная функции неположительна на промежутках убывания этой функции, поэтому точки принадлежащие промежуткам возрастания функции можно не рассматривать, так как в них производная неотрицательна.

Чем быстрее убывает функция, тем меньше значение её производной. Найдём точки, принадлежащие промежуткам убывания функции: $-2; -1$.

Точка $-1$ принадлежит промежутку, на котором функция убывает быстрее, следовательно значение производной в ней будет наименьшим.

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что его численное значение равно площади под графиком подынтегральной функции.

График функции представляет собой трапецию. На промежутке от $1$ до $5$ её можно разбить на прямоугольный треугольник со сторонами $2$ и $4$ и прямоугольник со сторонами $2$ и $4$.

Определённый интеграл $\int_{1}^{5} f(x) \, dx$ равен сумме площадей прямоугольника и треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна $2\cdot4\cdot \frac{1}{2} = 4$.

Площадь прямоугольника равна $2\cdot4 = 8$.

$$\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8 + 4 = 12$$

Значения производной отрицательны на промежутках убывания функции. На графике производная равна 0 на отрезке в точке $x = 3$, причём её значения менялись из отрицательных в положительные, следовательно $x = 3$ – точка минимума функции.

Значит, функция принимает наименьшее значение в точке $x = 3$.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Таким образом, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin  =  3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Таким образом, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетворяющих условию, приведён на рисунке.