Графики функций и их производных

Производная функции $y = f(x)$ равна нулю в точках экстремума: $-2, -1, 1, 5, 7$. Всего таких точек $5$.

$f(x)$ – является производной функции $F(x)$. Уравнение $f(x) = 0$ означает, что производная функции $F'(x) = f(x)$ равна $0$ в точках, в которых сама функция $F(x)$ меняет свою монотонность.

Всего таких точек на отрезке $[-2; 4]$: $10$.

Разность первообразных функции равна площади фигуры, ограниченнеой прямыми $x = 2, \quad x = 8$, осью $X$ и самим графиком функции.

Данная фигура представляет собой трапецию с высотой $h = 2$ и средней линией равной $m = \frac{1 + 6}{2} = 3,5$.

Вычислим значение выражения  $F\left(8\right)-F\left(2\right)$:

$$~F\left(8\right)-F\left(2\right) = h\cdot m = 2\cdot3,5 = 7$$

Разность первообразных функции, вычисленных в точках $x = -11, x = -9$, равна площади фигуры, ограниченнеой прямыми $x = -11, \quad x = -9$, осью $X$ и самим графиком функции (т. е искомой фигуре).

Вычислим значения первообразной в точках $x = -11, x = -9$:

$$F(-11) = (-11)^3 + 30\cdot121 - 302\cdot11 - \frac{15}{8} = -1331 + 3630 - 3322 - \frac{15}{8} = -1024,875$$

$$F(-9) = (-9)^3 + 30\cdot81 - 302\cdot9 - \frac{15}{8} = -729 + 2430 - 2718 - \frac{15}{8} = -1018,875$$

Найдём разность этих значений:

$$F(-9) - F(-11) = -1018,875 + 1024,875 = 6$$

Разность первообразных функции, вычисленных в точках $x = -10, x = -8$, равна площади фигуры, ограниченнеой прямыми $x = -10, \quad x = -8$, осью $X$ и самим графиком функции (т. е искомой фигуре).

Вычислим значения первообразной в точках $x = -10, x = -8$:

$$F(-10) = -(-10)^3 - 27\cdot100 + 2400 - 8 = 692$$

$$F(-9) = -(-8)^3 - 27\cdot64 + 240\cdot8 - 8 = 696$$

Найдём разность этих значений:

$$F(-8) - F(-10) = 696 - 692 = 4$$