Графики функций и их производных

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой $y=-x+20$ или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны $-1$.

Найдём количество точек, в которых $f'(x)=-1$, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой $y=-1$. Таких точек $2$.

Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума, следовательно, в точке с абсциссой −2 достигается наибольшее значение функции.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x  =  9.

Функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на полуинтервале отрезке (−10; −9] и на отрезке [−5; −2] и убывает на отрезке [−9; −5] и на полуинтервале [−2; 2).

Схематично изобразим поведение функции:

Наибольшее значение данная функция может принимать только в точках максимума. Учитывая, что $f(-4)=f(-9)$, получаем

$$f(-9)=f(-4)<f(-2),$$

Значит, наибольшее значение функции достигается в точке $x_0=-2$.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −7, 3, 5. Тем самым, на отрезке [−4; 10] функция имеет 2 точки экстремума.