Конус

1. Исходный объем: $$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

2. Новый объем при увеличении радиуса: $$V_2 = \frac{1}{3}\pi (1.5r)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 2.25r^2 h = 2.25V_1$$

1. Исходный объем: $$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

2. Новый объем при уменьшении высоты: $$V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 \left(\frac{h}{3}\right) = \frac{1}{3}V_1$$

textbf{Решение:}

1. Находим радиус основания: $$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

2. Так как осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник: $$h = r = 3$$

3. Вычисляем объем: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi$$

4. Искомое значение: $$\frac{V}{\pi} = 9$$

1. Найдем образующую по теореме Пифагора: $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

2. Площадь полной поверхности: $$S = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 3^2 + \pi \cdot 3 \cdot 5 = 9\pi + 15\pi = 24\pi$$

3. Искомое значение: $$\frac{S}{\pi} = 24$$

1. Коэффициент подобия: $$k = \frac{1}{2}$$ (так как высота делится 1:1)

2. Отношение площадей: $$\frac{S_{\text{мал}}}{S_{\text{бол}}} = k^2 = \frac{1}{4}$$

3. Площадь малого конуса: $$S_{\text{мал}} = \frac{12}{4} = 3$$