Конус

По условию, меньший конус (жидкость) подобен большему конусу (сосуду) с коэффициентом подобия: $$k = \frac{1}{2}$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{малый}}}{V_{\text{большой}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Выразим объём большого конуса через объём малого: $$V_{\text{большой}} = 27 \cdot V_{\text{малый}} = 8 \cdot 70\,\text{мл} = 560\,\text{мл}$$

Поскольку в сосуде уже находится 70 мл жидкости, необходимо долить: $$V_{\text{долить}} = V_{\text{большой}} - V_{\text{малый}} = 560\,\text{мл} - 70\,\text{мл} = 490\,\text{мл}$$

По условию, меньший конус (жидкость) подобен большему конусу (сосуду) с коэффициентом подобия: $$k = \frac{1}{3}$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{малый}}}{V_{\text{большой}}} = k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$$

Выразим объём большого конуса через объём малого: $$V_{\text{большой}} = 27 \cdot V_{\text{малый}} = 27 \cdot 14\,\text{мл} = 378\,\text{мл}$$

Поскольку в сосуде уже находится 4 мл жидкости, необходимо долить: $$V_{\text{долить}} = V_{\text{большой}} - V_{\text{малый}} = 378\,\text{мл} - 14\,\text{мл} = 364\,\text{мл}$$

Исходный конус имеет объем: $$V_{\text{больш}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = 16$$

Меньший конус подобен большему с коэффициентом подобия: $$k = \frac{1}{2}$$ (так как сечение проведено на половине высоты)

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{больш}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Объем меньшего конуса: $$V_{\text{мал}} = \frac{1}{8} \times 16 = 2$$

По условию образующая конуса $\ell = 2$, угол наклона $\alpha = 30^\circ$.

Найдем высоту конуса $h$: $$h = \ell \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

Найдем радиус основания $r$ по теореме Пифагора: $$r = \sqrt{\ell^2 - h^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$

Вычислим объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi$$

Искомое значение: $$\frac{V}{\pi} = 1$$

Найдем радиус основания по теореме Пифагора: $$r = \sqrt{\ell^2 - h^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Вычислим объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 6 = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6 = 128\pi$$

Искомое значение: $$\frac{V}{\pi} = 128$$