Логарифмические функции

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(9x - \ln(9x) + 3\right)' = 9 - \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$9 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $\left[\frac{1}{18},\frac{1}{9}\right]$ и возрастает на $\left[\frac{1}{9},\frac{5}{18}\right]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=\frac{1}{9}$: $$y\left(\frac{1}{9}\right) = 9\cdot\frac{1}{9} - \ln(1) + 3 = 1 - 0 + 3 = 4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\ln(11x) - 11x + 9\right)' = \frac{1}{x} - 11$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{1}{x} - 11 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{11}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[\frac{1}{22},\frac{1}{11}\right]$ и убывает на $\left[\frac{1}{11},\frac{5}{22}\right]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=\frac{1}{11}$: $$y\left(\frac{1}{11}\right) = \ln(1) - 11\cdot\frac{1}{11} + 9 = 0 - 1 + 9 = 8$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(2x^2 - 13x + 9\ln x + 8\right)' = 4x - 13 + \frac{9}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 13 + \frac{9}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 13x + 9 = 0$$ $$D = 169 - 144 = 25$$ $$x = \frac{13 \pm 5}{8}$$ $$x_1 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \quad (\text{не входит в отрезок})$$ $$x_2 = \frac{8}{8} = 1 \quad (\text{входит в отрезок})$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[\frac{13}{14},1\right]$ и убывает на $\left[1,\frac{15}{14}\right]$, поэтому наибольшее значение достигается в точке $x=1$.

1. Вычислим значение в точке максимума: $$y(1) = 2(1)^2 - 13(1) + 9\ln(1) + 8 = 2 - 13 + 0 + 8 = -3$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(2x^2 - 5x + \ln x - 3\right)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{4} \quad (\text{не входит в отрезок})$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $\left[\frac{5}{6},1\right]$ и возрастает на $\left[1,\frac{7}{6}\right]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 2(1)^2 - 5(1) + \ln 1 - 3 = 2 - 5 + 0 - 3 = -6$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\ln(x+5) - 2x + 9\right)' = \frac{1}{x+5} - 2$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{1}{x+5} - 2 = 0 \Rightarrow x = -4.5$$

3. Анализ поведения функции с учётом ограничений:

Функция возрастает при $x < -4.5$ и убывает при $x > -4.5$, поэтому $x = -4.5$ - точка максимума.