Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ На отрезке $[1;4]$ находится $x=2$.

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,2]$ и возрастает на $[2,4]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=2$: $$y(2) = 8 - 12 + 2 = -2$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 4$$ На отрезке $[-3;3]$ находится только $x = 0$.

3. Анализ поведения функции:

1. 0 - точка максимума функции на отрезке [-3; 3]: $$y(0) = 0 - 0 = 0$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 + 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 + 4x + 1$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 + 4x + 1 = 0$$ $$D = 16 - 12 = 4$$ $$x = \frac{-4 \pm 2}{6} \Rightarrow x = -1 \text{ или } x = -\frac{1}{3}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=-1$.

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ $$D = 16 - 12 = 4$$ $$x = \frac{4 \pm 2}{6} \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = \frac{1}{3}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=1$.

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \text{ или } x = 1$$ На отрезке $[1;4]$ находится $x=1$.

3. Анализ поведения функции:

Решение:

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \text{ или } x = 1$$ На отрезке $[1;4]$ находится $x=1$.

3. Анализ поведения функции: Функция возрастает на всем отрезке, поэтому наименьшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$