Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 + 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 + 4x + 1$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ или } x = -\frac{1}{3}$$ На отрезке $[-4;-1]$ находится $x=-1$.

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на всем отрезке, поэтому наибольшее значение в точке $x=-1$: $$y(-1) = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (7 + 12x - x^3)' = 12 - 3x^2$$

2. Найдём нули производной: $$12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=2$.

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 + 2x^2 - 4x + 4)' = 3x^2 + 4x - 4$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 + 4x - 4 = 0$$ $$D = 16 + 48 = 64$$ $$x = \frac{-4 \pm 8}{6} \Rightarrow x = -2 \text{ или } x = \frac{2}{3}$$ На отрезке $[-2;0]$ находится $x=-2$.

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на всем отрезке [-2; 0], поэтому наибольшее значение в точке $x=-2$: $$y(-2) = (-2)^3 + 2\cdot(-2)^2 - 4\cdot(-2) + 4 = 12$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - x^2 - 40x + 3)' = 3x^2 - 2x - 40$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 - 2x - 40 = 0$$ $$D = 4 + 480 = 484$$ $$x = \frac{2 \pm 22}{6} \Rightarrow x = 4 \text{ или } x = -\frac{10}{3}$$ На отрезке $[0;4]$ находится $x=4$.

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на всем отрезке [0; 4], поэтому наименьшее значение в точке $x=4$: $$y(4) = 64 - 16 - 160 + 3 = -109$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 + 5x^2 + 7x - 5)' = 3x^2 + 10x + 7$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2 + 10x + 7 = 0$$ $$D = 100 - 84 = 16$$ $$x = \frac{-10 \pm 4}{6} \Rightarrow x = -1 \text{ или } x = -\frac{7}{3}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=-1$.