Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((9-x)e^{x+9}\right)' = -e^{x+9} + (9-x)e^{x+9} = e^{x+9}(8 - x)$$

2. Найдём нули производной: $$(8-x)e^{x+9} = 0 \Rightarrow x=8$$ (так как $e^{x+9} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 8$ и убывает при $x > 8$, поэтому $x = 8$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3-x)e^{3-x}\right)' = -e^{3-x} + (3-x)(-e^{3-x}) = -e^{3 - x}(1 + 3 - x)= e^{3-x}(x - 4)$$

2. Найдём нули производной: $$(x-4)e^{3-x} = 0 \Rightarrow x=4$$ (так как $e^{3-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+16)e^{16-x}\right)' = e^{16-x} + (x+16)(-e^{16-x}) = e^{16-x} + (-x - 16) e^{16-x}$$

$$e^{16-x}(1 - x - 16) = e^{16-x}(-15 - x)$$

1. Найдём нули производной: $$(-15-x)e^{16-x} = 0 \Rightarrow x=-15$$ (так как $e^{16-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < -15$ и убывает при $x > -15$, поэтому $x = -15$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3x - \ln(x+3)^3\right)' = 3 - \frac{3}{x+3}$$

2. Найдём нули производной: $$3 - \frac{3}{x+3} = 0 \Rightarrow x = -2$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[-2.5,-2]$ и возрастает на $[-2,0]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=-2$: $$y(-2) = 3(-2) - \ln(1)^3 = -6$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3x - \ln(x+3)^3\right)' = 3 - \frac{3}{x+3}$$

2. Найдём нули производной: $$3 - \frac{3}{x+3} = 0 \Rightarrow x = -2$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[-2.5,-2]$ и возрастает на $[-2,0]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=-2$: $$y(-2) = 3(-2) - \ln(1)^3 = -6$$