Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(5\sin x + \frac{24}{\pi}x + 6\right)' = 5\cos x + \frac{24}{\pi}$$

2. Анализ производной: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$-5 + \frac{24}{\pi} \leq y' \leq 5 + \frac{24}{\pi}$$ Поскольку $\frac{24}{\pi} > 6 \quad(\frac{24}{4} = 6)$ а $4$ > $\pi$, то $\frac{24}{\pi} > \frac{24}{4} = 6 > 5 \implies y' > 0$ на всём отрезке.

3. Функция строго возрастает, поэтому наименьшее значение в левом конце: $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{24}{\pi}\cdot\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 6 = -2.5 - 20 + 6 = -16,5$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (3\tg x - 3x + 5)' = \frac{3}{\cos^2 x} - 3$$

2. Анализ производной: Так как $\cos^2 x \leq 1$, то $\frac{3}{\cos^2 x} \geq 3$, значит $y' \geq 0$ на всём отрезке.

3. Функция возрастает на отрезке, поэтому наибольшее её значение будет в правом конце этого промежутка: $$y(0) = 3\tg 0 - 3\cdot 0 + 5 = 5$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (5\tg x - 5x + 6)' = \frac{5}{\cos^2 x} - 5$$

2. Анализ производной: На отрезке $[0;\frac{\pi}{4}]$ имеем $\cos^2 x \in [\frac{1}{2};1]$, поэтому: $$\frac{5}{\cos^2 x} - 5 \geq 5 - 5 = 0$$ Таким образом, $y' \geq 0$ на всём отрезке.

3. Функция возрастает на отрезке, поэтому наименьшее её значение будет в левом конце этого промежутка: $$y(0) = 5\tg 0 - 5\cdot 0 + 6 = 6$$

Найдём производную функции: $$y' = (16\tg x - 16x + 4\pi - 5)' = \frac{16}{\cos^2 x} - 16 = 16\left(\frac{1}{\cos^2x} - 1\right) = 16\left(\frac{1 - \cos^2x}{\cos^2x}\right) = 16tg^2x \geq 0$$

Производная неотрицательна на всём отрезке, поэтому наибольшее её значение будет находиться в правом конце данного промежутка:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 16(1) - 16(\frac{\pi}{4}) + 4\pi - 5 = 16 - 4\pi + 4\pi - 5 = 11$$

Наибольшее значение: $11$

1. Найдём производную функции: $$y' = (4\tg x - 4x - \pi + 5)' = \frac{4}{\cos^2 x} - 4$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{4}{\cos^2 x} - 4 = 0 \Longleftrightarrow 4\left(\frac{1}{\cos^2x} - 1\right) = 4tg^2x \geq 0$$

Производная неотрицательна на всем отрезке, значит она возрастает на данном отрезке и поэтому наименьшее её значение будет в левом конце промежутка:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \pi + 5 = -4 + \pi - \pi + 5 = 1$$