Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(2x^2 - 13x + 9\ln x + 8\right)' = 4x - 13 + \frac{9}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 13 + \frac{9}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 13x + 9 = 0$$ $$D = 169 - 144 = 25$$ $$x = \frac{13 \pm 5}{8}$$ $$x_1 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \quad (\text{не входит в отрезок})$$ $$x_2 = \frac{8}{8} = 1 \quad (\text{входит в отрезок})$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[\frac{13}{14},1\right]$ и убывает на $\left[1,\frac{15}{14}\right]$, поэтому наибольшее значение достигается в точке $x=1$.

1. Вычислим значение в точке максимума: $$y(1) = 2(1)^2 - 13(1) + 9\ln(1) + 8 = 2 - 13 + 0 + 8 = -3$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(2x^2 - 5x + \ln x - 3\right)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{4} \quad (\text{не входит в отрезок})$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $\left[\frac{5}{6},1\right]$ и возрастает на $\left[1,\frac{7}{6}\right]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 2(1)^2 - 5(1) + \ln 1 - 3 = 2 - 5 + 0 - 3 = -6$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\ln(x+5) - 2x + 9\right)' = \frac{1}{x+5} - 2$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{1}{x+5} - 2 = 0 \Rightarrow x = -4.5$$

3. Анализ поведения функции с учётом ограничений:

Функция возрастает при $x < -4.5$ и убывает при $x > -4.5$, поэтому $x = -4.5$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3x^2-36x+36)e^{x-36}\right)' = (6x-36)e^{x-36} + (3x^2-36x+36)e^{x-36} =$$ $$= e^{x - 36}(3x^2 - 36x + 36 + 6x - 36) = e^{x-36}(3x^2-30x)$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2-30x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 10$$

($e^{x - 36} >0$ при любых $x$)

1. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=10$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3x^2-36x+36)e^{x+36}\right)' = (6x-36)e^{x+36} + (3x^2-36x+36)e^{x+36} =$$ $$= e^{x + 36}(3x^2 - 36x + 36 + 6x - 36) = e^{x+36}(3x^2-30x)$$

2. Найдём нули производной: $$3x^2-30x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 10$$ ($e^{x + 36} >0$ при любых $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=0$.