Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\ln(x+5)^5 - 5x\right)' = \frac{5}{x+5} - 5$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{5}{x+5} - 5 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 5} = 1 \Rightarrow x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-4.5,-4]$ и убывает на $[-4,0]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=-4$: $$y(-4) = \ln(1)^5 - 5(-4) = 20$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(4x - 4\ln(x+7) + 6\right)' = 4 - \frac{4}{x+7}$$

2. Найдём нули производной: $$4 - \frac{4}{x+7} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 7} = 1 \Rightarrow x = -6$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[-6.5,-6]$ и возрастает на $[-6,0]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=-6$: $$y(-6) = 4(-6) - 4\ln(1) + 6 = -24 + 0 + 6 = -18$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(8\ln(x+7) - 8x + 3\right)' = \frac{8}{x+7} - 8$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{8}{x+7} - 8 = 0 \Rightarrow x = -6$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-6.5,-6]$ и убывает на $[-6,0]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=-6$: $$y(-6) = 8\ln(1) - 8(-6) + 3 = 0 + 48 + 3 = 51$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(9x - \ln(9x) + 3\right)' = 9 - \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$9 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $\left[\frac{1}{18},\frac{1}{9}\right]$ и возрастает на $\left[\frac{1}{9},\frac{5}{18}\right]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=\frac{1}{9}$: $$y\left(\frac{1}{9}\right) = 9\cdot\frac{1}{9} - \ln(1) + 3 = 1 - 0 + 3 = 4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\ln(11x) - 11x + 9\right)' = \frac{1}{x} - 11$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{1}{x} - 11 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{11}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[\frac{1}{22},\frac{1}{11}\right]$ и убывает на $\left[\frac{1}{11},\frac{5}{22}\right]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=\frac{1}{11}$: $$y\left(\frac{1}{11}\right) = \ln(1) - 11\cdot\frac{1}{11} + 9 = 0 - 1 + 9 = 8$$