Уравнения

а) Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу приведения: $$\cos\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin 2x.$$

Подставляем в исходное уравнение: $$4\sqrt{3} \sin^3 x = \sin 2x.$$ Выразим $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$4\sqrt{3} \sin^3 x = 2\sin x \cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону: $$4\sqrt{3} \sin^3 x - 2\sin x \cos x = 0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$: $$2\sin x \left( 2\sqrt{3} \sin^2 x - \cos x \right) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\sin x = 0$ $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sqrt{3} \sin^2 x - \cos x = 0$ $$2\sqrt{3} (1 - \cos^2 x) - \cos x = 0$$ $$2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cos^2 x - \cos x = 0$$ $$2\sqrt{3} \cos^2 x + \cos x - 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $t = \cos x$, тогда: $$2\sqrt{3} t^2 + t - 2\sqrt{3} = 0.$$

Дискриминант: $$D = 1 + 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 1 + 48 = 49.$$ $$t_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{4\sqrt{3}}.$$

Корни: $$t_1 = \frac{-1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$t_2 = \frac{-1 - 7}{4\sqrt{3}} = \frac{-8}{4\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} < -1 \quad \text{— нет решений}.$$

Таким образом: $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, получаем корни: $${\pi k, \ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{9\pi}{2}; 6\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{35\pi}{6}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$5\pi; \frac{35\pi}{6}; 6\pi.$$

Ответ: а) ${\pi k, \ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${5\pi;\ \frac{35\pi}{6};\ 6\pi}.$

а) Уравнение распадается на два множителя:

1. $4x^2 + 16x + 15 = 0$

   Решим квадратное уравнение: $$D = 256 - 240 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$x_1 = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1,5,$$ $$x_2 = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2,5.$$

2. $\cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - 0,5 = 0$

   Преобразуем второй множитель: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x.$$ Получаем: $$\cos x \cdot (-\sin x) - 0,5 = 0$$ $$-\cos x \sin x = 0,5$$ $$\cos x \sin x = -0,5.$$

   Умножим обе части на 2: $$2\sin x \cos x = -1$$ $$\sin 2x = -1.$$

   Решаем: $$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${-2,5; \ -1,5; \ -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$.

1. Алгебраические корни: $-2,5$ и $-1,5$.

   Проверим принадлежность отрезку $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$:

   $$\begin{aligned} &-2\pi \approx -6,28, \quad -\frac{\pi}{2} \approx -1,57. \\ &-2,5 \in [-6,28; -1,57] \quad \text{— принадлежит}. \\ &-1,5 > -1,57 \quad \Rightarrow \quad -1,5 \notin [-6,28; -1,57] \quad \text{— не принадлежит}. \end{aligned}$$

   Из алгебраических корней отрезку принадлежит только $x = -2,5$.

2. Тригонометрический корень: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

   Найдём значения на отрезке: $$-\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Изобразим на тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2,5; -\frac{5\pi}{4}.$$

**Ответ: а)**${-2,5; -1,5; \ -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-2,5; \ -\frac{5\pi}{4}}.$

a) Запишем исходное уравнение в виде:

$$\frac{6^{2x}}{6} + \frac{2 \cdot 5^{2x}}{5} - \frac{16 \cdot 30^x}{30} = 0;$$ $$5 \cdot 6^{2x} - 16 \cdot 30^x + 12 \cdot 5^{2x} = 0;$$

$$5 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^{2x} - 16 \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^x + 12 = 0;$$ $$5t^2 - 16t + 12 = 0, \quad \text{где } t = \left( \frac{6}{5} \right)^x.$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = 256 - 240 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$t = \frac{16 \pm 4}{10} = \begin{cases} t_1 = \tfrac{20}{10} = 2, \\ t_2 = \tfrac{12}{10} = 1,2. \end{cases}$$

Таким образом: $$\left( \frac{6}{5} \right)^x = 2 \quad \text{или} \quad \left( \frac{6}{5} \right)^x = 1,2 = \frac{6}{5}.$$

Отсюда: $$x = \log_{\frac{6}{5}} 2 \quad \text{или} \quad x = 1.$$

б) Для $x = 1$ условие $0,5 \leq x \leq 4$ выполнено.

Для $x = \log_{\frac{6}{5}} 2$ получаем: $$\log_{\frac{6}{5}} 2 > \log_{\frac{6}{5}} \frac{6}{5} = 1$$ и $4 = \log_{\frac{6}{5}} \left( \frac{6}{5} \right)^4 = \log_{\frac{6}{5}} \frac{1296}{625} = \log_{\frac{6}{5}} 2,0736 > \log_{\frac{6}{5}} 2$, откуда $\log_{\frac{6}{5}} 2 < 4$.

Значит, для $x = \log_{\frac{6}{5}} 2$ условие $0,5 \leq x \leq 4$ также выполнено.

Ответ:
a) $1; \ \log_{\frac{6}{5}} 2;$
б) $1; \ \log_{\frac{6}{5}} 2.$

а) Учтем, что подлогарифмическое должно быть больше нуля: $\cos 2x > 0$. Обозначим это (*)

Преобразуем логарифмы: $$\log_{\frac{1}{16}} (\cos 2x) = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{\log_2 \frac{1}{16}} = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{-4} = -\frac{1}{4} \log_2 (\cos 2x).$$

Также: $$\log_4 (\cos 2x) = \frac{\log_2 (\cos 2x)}{2}.$$

Подставим в уравнение: $$\left( \frac{\log_2 (\cos 2x)}{2} \right)^2 = -\frac{1}{4} \log_2 (\cos 2x).$$

Умножим на 4: $$\log_2^2 (\cos 2x) = -\log_2 (\cos 2x).$$ $$\log_2^2 (\cos 2x) + \log_2 (\cos 2x) = 0.$$ $$\log_2 (\cos 2x) \cdot (\log_2 (\cos 2x) + 1) = 0.$$

Отсюда:

1. $\log_2 (\cos 2x) = 0$

   $\cos 2x = 2^0 = 1$

   С учётом (*) ($\cos 2x > 0$): $2x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

   $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\log_2 (\cos 2x) = -1$

   $\cos 2x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

   С учётом (*) ($\cos 2x > 0$): $2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

   $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Итак, корни уравнения: $${\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$3\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$$

$$4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$$

$$4\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi; \frac{19\pi}{6}; \frac{23\pi}{6}; 4\pi; \frac{25\pi}{6}.$$

**Ответ: а)**${\pi k,\ k \in \mathbb{Z}; -\frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

**б)**$3\pi;\ \frac{19\pi}{6};\ \frac{23\pi}{6};\ 4\pi;\ \frac{25\pi}{6}.$

а) Преобразуем исходное уравнение в виде:

$$\sin 2x - 2\sin (-x) = 1 + \cos(-x); \quad \sin 2x + 2\sin x = 1 + \cos x; \quad 2\sin x \cos x + 2\sin x = 1 + \cos x;$$ $$2\sin x (\cos x + 1) - (1 + \cos x) = 0; \quad (\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0;$$

Отсюда $$\cos x = -1, \quad \text{откуда} \quad x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z},$$ или $$\sin x = \frac{1}{2}, \quad \text{откуда} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения:

$$\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Отбираем корни:

$$-3\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6}$$

Итак, корни на отрезке: $$-3\pi; -\frac{19\pi}{6}.$$

Ответ:

а) $\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{19\pi}{6};\; -3\pi$