Уравнения

Преобразуем обе части уравнения: $$25^{\sin x}=(5^2)^{\sin x}=5^{2\sin x},\qquad \left(\tfrac{1}{5}\right)^{-\sqrt2\,\sin 2x}=5^{\sqrt2\,\sin 2x}.$$ Тогда $$5^{2\sin x}=5^{\sqrt2\,\sin 2x}\;\;\Rightarrow\;\;2\sin x=\sqrt2\,\sin 2x.$$ $$2\sin x=2\sqrt2\,\sin x\cos x \;\;\Leftrightarrow\;\; 2\sin x\,(1-\sqrt2\,\cos x)=0.$$ Отсюда $$\sin x=0 \quad\text{или}\quad \cos x=\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{\sqrt2}{2}.$$

1. $\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

2. $\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{\pi}{4}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi;\tfrac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

Из $\sin x=0$: $x=2\pi,\;3\pi$.

Из $\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}$: $x=\tfrac{\pi}{4}+2\pi=\tfrac{9\pi}{4}$ (остальные значения либо меньше $2\pi$, либо больше $\tfrac{7\pi}{2}$).

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi,\;\tfrac{9\pi}{4},\;3\pi.$$

Ответ: а) $\pi k,\; \pm\tfrac{\pi}{4}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};\qquad$ б) $2\pi,\;\tfrac{9\pi}{4},\;3\pi$.

Обозначим $t=2^{2\cos x}>0$. Тогда уравнение принимает вид $$t^2+3t-10=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; (t+5)(t-2)=0.$$ С учётом $t>0$ получаем единственное подходящее значение $$t=2 \;\;\Leftrightarrow\;\; 2^{2\cos x}=2 \;\;\Rightarrow\;\; 2\cos x=1 \;\;\Rightarrow\;\; \cos x=\tfrac{1}{2}.$$ Следовательно, $$x= \pm \tfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi;\tfrac{5\pi}{2}\right]$: $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi =\tfrac{5\pi}{3},\;\; \frac{\pi}{3} + 2\pi=\tfrac{7\pi}{3}.$$

Ответ: а) $\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};\qquad$ б) $\tfrac{5\pi}{3},\;\tfrac{7\pi}{3}$.

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, имеем $$9^{\sin x}+9^{-\sin x}=\tfrac{10}{3}.$$ Обозначим $t=9^{\sin x}>0$. Тогда $$t+\frac{1}{t}=\tfrac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad 3t^2-10t+3=0 \;\;\Leftrightarrow\;\; t=3\;\; \text{или}\;\; t=\tfrac{1}{3}.$$

1. $9^{\sin x}=3 \;\Rightarrow\; 3^{2\sin x}=3 \;\Rightarrow\; 2\sin x=1 \;\Rightarrow\; \sin x=\tfrac{1}{2}.$

2. $9^{\sin x}=\tfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; 3^{2\sin x}=3^{-1} \;\Rightarrow\; 2\sin x=-1 \;\Rightarrow\; \sin x=-\tfrac{1}{2}.$

$$\sin x=\tfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;\;\text{или}\;\;x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z},$$ $$\sin x=-\tfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k\;\;\text{или}\;\;x=-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\tfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$-\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{19\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{17\pi}{6}$$ $$-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{6} + \pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\tfrac{19\pi}{6},\;-\tfrac{17\pi}{6},\;-\tfrac{13\pi}{6}$.

$$(27^{\cos x})^{\sin x} = 27^{\cos x \cdot \sin x} = (3^3)^{\cos x \sin x} = 3^{3\cos x \sin x}.$$

Получаем уравнение: $$3^{3\cos x \sin x} = 3^{\tfrac{3 \cos x}{2}} \;\;\;\Rightarrow\;\;\; 3\cos x \sin x = \tfrac{3 \cos x}{2}.$$ $$\cos x \sin x = \tfrac{\cos x}{2}.$$ $$\cos x \left(\sin x - \tfrac{1}{2}\right) = 0.$$ $$\cos x = 0 \;\;\;\;\; \text{или} \;\;\;\;\; \sin x = \tfrac{1}{2}.$$

1. $\cos x = 0 \;\;\Rightarrow\;\; x = \tfrac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

2. $\sin x = \tfrac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; x = \tfrac{\pi}{6} + 2\pi k \;\;\;\text{или}\;\;\; x = \tfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\pi;\tfrac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\;\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\; x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$

б) $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{2}$.

Обозначим $t=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{\cos x}>0$. Тогда $$\left(\tfrac{4}{9}\right)^{\cos x}=\left(\left(\tfrac{2}{3}\right)^2\right)^{\cos x}=t^2,$$ и исходное уравнение принимает вид $$t^2+2t-3=0\;\;\Leftrightarrow\;\;(t-1)(t+3)=0.$$ С учётом $t>0$ получаем единственное решение $$t=1 \;\;\Leftrightarrow\;\; \left(\tfrac{2}{3}\right)^{\cos x}=1 \;\;\Rightarrow\;\; \cos x=0.$$ Следовательно, $$x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[\pi; 4\pi]$: $$\pi \le \tfrac{\pi}{2}+\pi k \le 4\pi.$$ Вычитаем $\tfrac{\pi}{2}$: $$\tfrac{\pi}{2} \le \pi k \le \tfrac{7\pi}{2}.$$ Делим на $\pi$: $$\tfrac{1}{2} \le k \le \tfrac{7}{2}.$$ Так как $k\in\mathbb{Z}$, имеем $k=1,2,3$. Соответствующие значения $$x=\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{2},\;\tfrac{7\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{2},\;\tfrac{7\pi}{2}$.