Неравенства

Кредит взят в июле 2016 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим равные в 2020 и 2021 годах выплаты за $S_1$ тыс. рублей.

По условию в 2017, 2018 и 2019 годах долг остается равным S = 1100 тыс. рублей. Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1. значение в столбце «Выплата» за 2017, 2018 и 2019 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»;

2. сумма долга после выплаты за 2020 и 2021 годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

По условию задачи долг был погашен полностью, значит, $$1{,}2\,(1{,}2S-S_1)-S_1=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{36}{25}S=\frac{11}{5}S_1 \;\Longleftrightarrow\; S_1=\frac{36}{55}S$$

Первый платеж был равен $0{,}2S$, а последний был равен $\frac{36}{55}S$, значит, их разность равна $$\frac{36}{55}S-0{,}2S= \left(\frac{36}{55}-\frac{11}{55}\right)S= \frac{25}{55}S= \frac{5}{11}\cdot S= \frac{5}{11}\cdot 1100=500$$

Ответ: 500 тысяч рублей

а) Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BF$ — его биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника

$$AB : BC = AF : FC.$$

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию $AB = BD$, то есть треугольник $ABD$ равнобедренный. Поскольку $BE$ — его биссектриса, а значит высота и медиана, то $BE \perp AD$. По условию $CK \perp AD$, значит, $BE \parallel CK$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

$$AF : FC = AE : EK.$$ Тогда имеем:

$$AB : BC = AF : FC = AE : EK.$$

б) Пусть $S$ — площадь треугольника $ABE$. Заметим, что $BE$ — медиана треугольника $ABD$, значит, площади треугольников $ABE$ и $BDE$ равны, то есть

$$S_{ABE} = S_{BDE} = S.$$

По условию $BD : DC = 5 : 2$, значит,

$$\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} = \frac{BD}{BC} = \frac{5}{7},$$ следовательно,

$$\frac{AF}{AC} = \frac{5}{12}.$$

Запишем теорему Менелая для треугольника $BCF$ и секущей $AD$:

$$\frac{FE}{EB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CA}{AF} = 1$$

$$\frac{FE}{EB}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{12}{5} = 1$$

$$\frac{FE}{EB} = \frac{1}{6}$$

Значит,

$$\frac{BE}{BF} = \frac{6}{7}.$$

Тогда можем найти площадь треугольника $BCF$:

$$\frac{S_{BCF}}{S_{BDE}} = \frac{BF\cdot BC}{BE\cdot BD} = \frac{BF}{BE}\cdot\frac{BC}{BD} = \frac{7}{6}\cdot\frac{7}{5} = \frac{49}{30},$$ следовательно,

$$S_{BCF} = \frac{49}{30}S.$$

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника $CDEF$:

$$S_{CDEF} = S_{BCF} - S = \frac{49}{30}S - S = \frac{19}{30}S.$$

Тогда искомое отношение площадей равно

$$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}} = \frac{S}{\frac{19}{30}S} = \frac{30}{19}.$$

Ответ:

$$\text{б) } \frac{30}{19}$$

Данное уравнение равносильно совокупности $$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y_1 = 2x^2 - (a + 6)x - (a^2 - 6a) = 0\\ x \geq 0 \end{array} \right.\\[1.2ex] \left\{ \begin{array}{l} y_2 = 2x^2 - (a - 12)x - (a^2 - 6a) = 0\\ x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Полученная совокупность может иметь максимум 4 решения, следовательно, найдем те значения параметра, при которых она имеет ровно 4 решения, тогда все другие значения параметра будут искомыми. Чтобы совокупность имела 4 решения, каждая из систем должна иметь по два различных решения, следовательно, каждое квадратное уравнение $y_1 = 0$ и $y_2 = 0$ должно иметь по два корня, удовлетворяющих условию $x \geq 0$ или $x < 0$ соответственно. Во-первых, дискриминанты квадратных уравнений должны быть положительны: $$\left\{ \begin{array}{l} D_1 = (a + 6)^2 + 8(a^2 - 6a) = 9(a - 2)^2 > 0\\ D_2 = (a - 12)^2 + 8(a^2 - 6a) = 9(a - 4)^2 > 0 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \neq 2\\ a \neq 4 \end{array} \right.$$

Во-вторых, чтобы парабола $y = y_1(x)$ пересекала абсциссы в двух неотрицательных точках, абсцисса вершины параболы должна быть положительна и значение функции в 0 должно быть неотрицательно. Чтобы парабола $y = y_2(x)$ пересекала абсциссы в двух точках меньше нуля, значение функции в 0 должно быть положительно, а абсцисса вершины параболы должна быть отрицательна. Таким образом, получаем: $$\left\{ \begin{array}{l} y_1(0) \geq 0\\ \dfrac{a + 6}{4} > 0\\ y_2(0) > 0\\ \dfrac{a - 12}{4} < 0 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} -(a^2 - 6a) \geq 0\\ a + 6 > 0\\ -(a^2 - 6a) > 0\\ a - 12 < 0 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} a > -6\\ a(a - 6) < 0\\ a < 12 \end{array} \right.$$

$$0 < a < 6$$

Таким образом, 4 решения будет при $a \in (0;6)\backslash\{2;4\}$. Следовательно, меньше 4 решений будет при $$a \in (-\infty;0] \cup \{2\} \cup \{4\} \cup [6;+\infty).$$

Ответ: $$a \in (-\infty;0] \cup \{2\} \cup \{4\} \cup [6;+\infty)$$

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью: $$(97; 104; 0) \to (96; 103; 2) \to (95; 102; 4) \to (97; 101; 3)$$ За 5 раз такими операциями мы можем переместить 15 камней из второй коробки в третью.

б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас $a$ камней, в третьей $c$ камней. Тогда разность равна $c-a$. Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет $$(c-1) - (a+2) = c-a-3.$$ Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна $$(c-1) - (a-1) = c-a.$$ Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна $$(c+2) - (a-1) = c-a+3.$$ Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могло оказаться все $97+104+0=201$ камень, то в конце разность должна была равна $201-0=201$. Изначально разность была равна $0-97=-97$, значит, она изменилась на $201-(-97)=298$. Однако 298 не делится на 3, значит, в третьей коробке не мог оказаться 201 камень.

в) Аналогично предыдущему пункту можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3. Тогда посмотрим на начальную разность между второй и первой коробками. Она равна $104-97=7$. По условию в первой коробке оказался 1 камень. Найдем наименьшее количество $b>0$ камней, которое могло оказаться во второй коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем: $$b-1=7+3k,\; k\in Z$$ $$b=8+3k \qquad \underset{b>0}{\Longrightarrow} \qquad b\geq 2$$ Тогда в третьей коробке может быть не более $201-1-2=198$ камней.

Покажем, как можно добиться ровно 198 камней. Сначала научимся перемещать по 2 камня в третью коробку из каждой другой: $$(97; 104; 0) \to (96; 103; 2) \to (95; 102; 4) \to (97; 101; 3) \to$$ $$\to (96; 100; 5) \to (95; 99; 7) \to (94; 101; 6)$$

Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 3 и 5 камней. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации $(1; 8; 192)$. Теперь будем перекладывать по 2 камня из второй коробки в третью: $$(1; 8; 192) \to (0; 7; 194) \to (2; 6; 193) \to$$ $$\to (1; 5; 195) \to (0; 4; 197) \to (2; 3; 196) \to$$ $$\to (1; 2; 198).$$

Ответ: а) Да, может

б) Нет, не может

в) 198

Если трапеция вписана в окружность, то такая трапеция – равнобедренная.

$$P_{ADCB} = AD + DC + CB + AB = AB + DC + 2\cdot AD = 22$$

Найдём сумму оснований через среднюю линию:

$$FE = \frac{AB + DC}{2} = 5 \Leftrightarrow AB + DC = 10$$

Найдём боковую сторону:

$$AB + DC + 2\cdot AD = 22 \Leftrightarrow 2\cdot AD = 22 - 10 = 12 \Leftrightarrow AD = \frac{12}{2} = 6$$