Неравенства

Система определена при $y-x+8\ge 0$. На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

$$\left[ \begin{array}{l} y=x-8\\ y=1-\dfrac{8}{x}\quad (\text{при }x=0\text{ получается неверное равенство }0=8) \end{array} \right.$$

В координатах $xOy$ получаем прямую и гиперболу в области $y\ge x-8$. Второе уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $2$, у которой параметр $a$ отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси. Точка пересечения прямых $y=2x+a$ и $y=x-8$ при каждом фиксированном $a$ является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая $y=2x+a$ касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой $y=x-8$, а второй раз в области ниже этой прямой $y=x-8$. Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положения 1 и 2. Прямая $y=2x+a$ касается гиперболы $y=1-\dfrac{8}{x}$, если уравнение

$$2x+a=1-\dfrac{8}{x}$$ имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант $(a-1)^2-4\cdot 2\cdot 8$ равен нулю:

$$a-1=\pm 8 \iff a\in\{-7;9\}$$

Гипербола $y=1-\dfrac{8}{x}$ пересекается с прямой $y=x-8$ при

$$x-8=1-\dfrac{8}{x}$$

$$x^2-8x=x-8$$

$$x^2-9x+8=0$$

Получаем $x=1,\ y=-7$ и $x=8,\ y=0$. Найдем значения параметра, при которых прямая $y=2x+a$ проходит через эти точки. Положение 3: $-7=2+a \iff a=-9$. При этом значении параметра решением системы является точка $(1;-7)$ и вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y=2x+a$, которая находится в пределах области выше прямой $y=x-8$. Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит. Положение 4: $0=16+a \iff a=-16$. При этом значении параметра решением системы является точка $(8;0)$, а вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y=2x+a$ находится в пределах области ниже прямой $y=x-8$. Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит. Тогда окончательно имеем $a\in(-16;-9]\cup\{-7\}\cup\{9\}$.

Ответ: $a\in(-16;-9]\cup\{-7\}\cup\{9\}$

а) Да, например, $15\cdot 10=150$.

б) Все числа в данном диапазоне начинаются с четверки, а если ее вычеркнуть — будут не меньше $40$ (если же ее оставить — тоже будут не меньше $40$). Значит, произведение двух двузначных чисел будет не меньше

$$40\cdot 40=1600>500>A.$$

в) Заметим, что $810=81\cdot 10$. Докажем, что для больших чисел описанная ситуация невозможна. Очевидно, число $811$ не получается перемножением чисел $81$ и $11$ в любых комбинациях.

Если есть подходящее число в диапазоне от $812$ до $899$, то оно начинается на $8$. Если оба двузначных числа сохраняют в себе эту восьмерку, то их произведение больше чем $80^2>900$, что невозможно. Если ни одно ее не сохраняет, то $B=C$ и $A=B^2$, но

$$28^2=784<811<29^2=841<900<30^2,$$ значит, единственным подходящим числом могло бы быть $841$, но $41^2\ne 841$.

Итак, одно из чисел состоит из двух последних цифр числа $A$ (и потому не меньше $12$), а второе сохраняет первую цифру (и не меньше $80$), значит, их произведение не меньше

$$80\cdot 12=960>900>A.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $810$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно:

$$\angle CBD=\angle CAD=35^\circ.$$

Тогда:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=75^\circ+35^\circ=110^\circ.$$

Пусть $\vec d = 1,2\vec a - 0,7\vec b$. Найдём координаты $\vec d$: $$\vec d = (1,2 \cdot 3 - 0,7 \cdot 8; \ 1,2 \cdot 7 - 0,7 \cdot 9) = (3,6 - 5,6; \ 8,4 - 6,3) = (-2; \ 2,1)$$

Найдём длину вектора $\vec d$: $$|\vec d| = \sqrt{(-2)^2 + (2,1)^2} = \sqrt{4 + 4,41} = \sqrt{8,41} = 2,9$$

Объем прямоугольного параллелепипеда равен V  =  Sh, где S  — площадь грани, а h  — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем: $V  =  Sh = 20 \cdot 3 = 60.$