Неравенства

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если $S \le 45$ км. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $S \le 45$ км при заданных значениях параметров $v_0$ и $a$:

$$S \le 45 \Leftrightarrow 4t^2 + 57t \le 45 \Leftrightarrow 4t^2 + 57t - 45 \le 0 \Leftrightarrow -15 \le t \le 0{,}75.$$

Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем $t \le 0{,}75$ ч, то есть $t \le 45$ мин.

За минуту Таня пропалывает одну двадцатьчетвертую грядки, а Аня с Таней вместе — одну шестую. Поэтому за одну минуту Аня пропалывает

$$\frac{1}{6}-\frac{1}{24}=\frac{1}{8}$$ грядки. Всю грядку она прополет за 8 минут.

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = -1$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^1 + b = -1 \end{cases}$$ Вычитаем второе уравнение из первого: $$a^2 - a = 2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Так как показательная функция определена при $a > 0$, выбираем $a = 2$.

Подставляем $a = 2$ во второе уравнение системы: $$2 + b = -1 \Rightarrow b = -3$$ Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Находим $f(6)$: $$f(6) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=\frac{6}{x-7}-6.$$

Найдем нули производной:

$$\frac{6}{x-7}-6=0 \Leftrightarrow \frac{6}{x-7}=6 \Leftrightarrow x-7=1 \Leftrightarrow x=8.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x = 8$.

По формулам приведения имеем:

$$\cos^2(\pi-x)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=0$$

$$\cos^2x+\cos x=0$$

$$\begin{cases} \cos x=0\\ \cos x=-1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z\\ x=\pi+2\pi m,\; m\in\mathbb Z \end{cases}$$

б) Отберем корни на отрезке

$$\left[-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

$$-\frac{5\pi}{3}\le \frac{\pi}{2}+\pi n\le -\frac{\pi}{2}$$

$$-\frac{13}{6}\le n\le -1$$

$$n=-2;\,-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{3\pi}{2};\,-\frac{\pi}{2}$$

Для второй серии решений:

$$-\frac{5\pi}{3}\le \pi+2\pi m\le -\frac{\pi}{2}$$

$$-\frac{4}{3}\le m\le -\frac{3}{4}$$

$$m=-1 \;\Rightarrow\; x=-\pi$$

Следовательно, на отрезке

$$\left[-\frac{5\pi}{3};-\frac{\pi}{2}\right]$$ лежат корни

$$-\frac{3\pi}{2};\;-\pi;\;-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

а)

$$\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad \pi+2\pi m,\; m\in\mathbb Z$$

б)

$$-\frac{3\pi}{2};\;-\pi;\;-\frac{\pi}{2}$$