Неравенства

Возрастанию дифференцируемой функции $f(x)$ соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках $x_1, x_2, x_5$. Таких точек 3.

Поскольку $f=20$, имеем:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{20} \Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{20}-\frac{1}{d_2}.$$

Наименьшему возможному значению $d_1$ соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность $\frac{1}{20}-\frac{1}{d_2}$ в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого $\frac{1}{d_2}$, которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя $d_2$. Поэтому $d_2=120$, откуда

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{20}-\frac{1}{120} \Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{5}{120} \Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{24} \Leftrightarrow d_1=24 \text{ см}.$$

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 20 до 50 см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию.

Пусть $x$ литров — объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает $x-6$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 112 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:

$$\frac{112}{x-6}-\frac{112}{x}=6 \Leftrightarrow \frac{112}{x(x-6)}=1 \Leftrightarrow x(x-6)=14\cdot 8$$

$$\left[ \begin{array}{l} x=14,\\ x=-8 \end{array} \right. \qquad x>0 \Rightarrow x=14.$$

Значит, вторая труба пропускает 14 литров воды в минуту.

Найдём коэффициенты $a, b, c$.

Заметим, что координаты вершины параболы равны $(2, -4)$ (то есть $x_0 = 2, y_0 = -4$) и $a = 1$.

Составим уравнение: $$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 1\cdot(x - 2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x$$

Найдём коэффициент $k$: $$g(1) = 3 \Leftrightarrow 1\cdot k = 3 \Rightarrow k = 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x = 3x \Leftrightarrow x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 7$$

$x = 0$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $7$.

Найдем производную заданной функции:

$$y'=2\sqrt{x}-12.$$

Найдем нули производной:

$$2\sqrt{x}-12=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=6 \Leftrightarrow x=36.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке $x=36$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

$$y(36)=288-432+95=-49.$$