Неравенства

При делении на 9 число и сумма его цифр дают одинаковый остаток.

Для числа 314159:

$$3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 9 = 23,$$ а 23 при делении на 9 даёт остаток 5.

Для числа 2718:

$$2 + 7 + 1 + 8 = 18,$$ а 18 при делении на 9 даёт остаток 0.

Остатки разные, значит, числа не являются равноостаточными при делении на 9.

Ответ: нет.

Последние цифры степеней числа 7 повторяются по циклу:

• $7^1$ — последняя цифра 7,
• $7^2$ — последняя цифра 9,
• $7^3$ — последняя цифра 3,
• $7^4$ — последняя цифра 1.

Дальше цикл повторяется. Его длина равна 4.

Найдём остаток от деления 202 на 4:

$$202 = 4 \times 50 + 2 (т.е. \quad эта \quad двойка).$$

Значит, нужна вторая цифра в цикле, то есть 9.

Ответ: 9.

Используем признак делимости на 11.

Для числа 12345678987654321:

Нечётные места:

$$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 7,\ 5,\ 3,\ 1$$

Их сумма:

$$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 41$$

Чётные места:

$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 8,\ 6,\ 4,\ 2$$

Их сумма:

$$2 + 4 + 6 + 8 + 8 + 6 + 4 + 2 = 40$$

Разность:

$$41 - 40 = 1$$

Число 1 на 11 не делится.

Ответ: число 12345678987654321 на 11 не делится.

Сначала найдём остаток от деления $2^{202}$ на 7.

Степени двойки при делении на 7 дают цикл:

• $2^1$ даёт остаток 2,
• $2^2$ даёт остаток 4,
• $2^3$ даёт остаток 1.

Дальше цикл повторяется. Его длина равна 3.

Так как

$$202 = 3 \times 67 + 1,$$ то $2^{202}$ даёт такой же остаток, как $2^1$, то есть остаток 2.

Теперь найдём остаток от деления $3^{202}$ на 7.

Степени тройки при делении на 7:

• $3^1$ даёт остаток 3,
• $3^2$ даёт остаток 2,
• $3^3$ даёт остаток 6,
• $3^4$ даёт остаток 4,
• $3^5$ даёт остаток 5,
• $3^6$ даёт остаток 1.

Длина цикла равна 6.

Так как

$$202 = 6 \times 33 + 4,$$ то $3^{202}$ даёт такой же остаток, как $3^4$, то есть остаток 4.

Теперь складываем остатки:

$$2 + 4 = 6.$$

Ответ: остаток равен 6.

$$50834 = 5 \times 10000 + 0 \times 1000 + 8 \times 100 + 3 \times 10 + 4.$$

Или короче:

$$50834 = 50000 + 800 + 30 + 4.$$