Неравенства

При делении на 3 любое число даёт один из остатков: 0, 1 или 2.

Если взять три последовательных числа, их остатки при делении на 3 будут идти подряд: 0, 1, 2 или 1, 2, 0 или 2, 0, 1.

Среди них обязательно есть остаток 0.

Значит, одно из этих чисел делится на 3.

Требуется, чтобы число $5n + 3$ делилось на 8.

Это значит, что при делении на 8 число $5n + 3$ должно давать остаток 0.

Тогда число $5n$ должно давать тот же остаток, что и $-3$, то есть тот же остаток, что и 5.

Получаем: при делении на 8 число $n$ должно давать остаток 1.

Значит,

$$n = 1, 9, 17, 25, ..., 97.$$

Наибольшее такое число меньше 100 — это 97.

Проверка:

$$5 \times 97 + 3 = 485 + 3 = 488,$$

$$488 : 8 = 61.$$

Ответ: 97.

Рассмотрим три последовательных числа:

$$n,\; n + 1,\; n + 2.$$

Среди трёх последовательных чисел:

• -одно обязательно делится на 3;
• -хотя бы одно обязательно чётное, то есть делится на 2.

Значит, произведение этих трёх чисел делится и на 2, и на 3.

Следовательно, оно делится на 6.

Покажем, что число $n^5 - n$ делится на 2, на 3 и на 5.

Делимость на 2

Числа $n$ и $n^5$ имеют одинаковую чётность:

• если $n$ чётное, то и $n^5$ чётное;
• если $n$ нечётное, то и $n^5$ нечётное.

Значит, разность $n^5 - n$ чётна, то есть делится на 2.

Делимость на 3

При делении на 3 число $n$ может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если остаток 0, то и $n^5 - n$ делится на 3.
• Если остаток 1, то $n^5$ при делении на 3 даёт остаток 1, значит, разность даёт остаток 0.
• Если остаток 2, то $2^5 = 32$, а 32 при делении на 3 даёт остаток 2, значит, разность снова даёт остаток 0.

Следовательно, $n^5 - n$ делится на 3.

Делимость на 5

При делении на 5 число $n$ может давать остаток 0, 1, 2, 3 или 4.

Проверим пятые степени этих остатков:

• $0^5 = 0$,
• $1^5 = 1$,
• $2^5 = 32$, а 32 при делении на 5 даёт остаток 2,
• $3^5 = 243$, а 243 при делении на 5 даёт остаток 3,
• $4^5 = 1024$, а 1024 при делении на 5 даёт остаток 4.

Во всех случаях $n^5$ и $n$ дают одинаковый остаток при делении на 5.

Значит, $n^5 - n$ делится на 5.

Итак, число делится на 2, на 3 и на 5. Поскольку 2, 3 и 5 взаимно просты, число делится на

$$2 \times 3 \times 5 = 30.$$

Ответ: $n^5 - n$ делится на 30 при любом натуральном $n$.

Найдём разность:

$$8157 - 57 = 8100.$$

Число 8100 делится на 100.

Значит, числа 8157 и 57 дают одинаковый остаток при делении на 100.

Ответ: да, равноостаточны при делении на 100.