Неравенства

Сначала возведём выражение в квадрат:

$$(2a^3b^2)^2 = 2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 4a^6b^4$$

Теперь подставим:

$$4a^6b^4 \cdot 3ab^3 : 6a^2b$$

Перемножим числитель:

$$4a^6b^4 \cdot 3ab^3 = 12a^7b^7$$

Получаем:

$$12a^7b^7 : 6a^2b = 2a^{(7-2)}b^{(7-1)} = 2a^5b^6$$

Ответ: $2a^5b^6$

$$\sqrt{81} = 9,\ \text{так как}\ 9^2 = 81.$$

Ответ: 9

Используем свойства корня:

$$\sqrt{25} = 5$$

$$\sqrt{a^2} = |a|$$

$$\sqrt{b^4} = b^2$$

Значит:

$$\sqrt{25a^2b^4} = 5|a|b^2$$

Ответ: $5|a|b^2$

Упростим корни:

$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Подставим:

$$(\sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3}$$

$$= (5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3}$$

$$= 4\sqrt{3} : \sqrt{3} = 4$$

Ответ: 4

Используем формулу:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Тогда:

$$(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}$$

$$(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 2\sqrt{18}$$

Теперь вычтем:

$$(9 + 2\sqrt{18}) - (9 - 2\sqrt{18}) = 4\sqrt{18}$$

Упростим:

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Значит:

$$4\sqrt{18} = 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$

Ответ: $12\sqrt{2}$