Неравенства

Избавимся от иррациональности в знаменателе.

Для первой дроби:

$$\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$$

$$= \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$$

Для второй дроби:

$$\frac{5}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$$

$$= \frac{5(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = 5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}$$

Теперь вычтем:

$$(5\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) - (5\sqrt{3} - 5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}$$

Ответ: $10\sqrt{2}$

Обозначим:

$$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$

$$b = \sqrt{2} - \sqrt{3}$$

Тогда выражение равно $a^3 + b^3$.

Используем формулу:

$$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$$

Найдём $a+b$:

$$a+b = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$$

Найдём $ab$:

$$ab = (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$$

Подставим:

$$a^3 + b^3 = (2\sqrt{2})^3 - 3 \cdot (-1) \cdot 2\sqrt{2}$$

$$= 8 \cdot 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2}$$

$$= 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22\sqrt{2}$$

Ответ: $22\sqrt{2}$

Используем правило:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Тогда:

$$y^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{y^3}$$

Можно также записать так:

$$y^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{y}\right)^3$$

Ответ: $\sqrt[4]{y^3}$

Складываем показатели степеней с одинаковым основанием:

$$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}\right)} = x^{\frac{4}{2}} = x^2$$

Ответ: $x^2$

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

$$a^{\frac{5}{6}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\left(\frac{5}{6}\right)-\left(\frac{1}{3}\right)}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$

Значит:

$$a^{\frac{5}{6}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$$

Переходим к корню:

$$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$

Ответ: $\sqrt{a}$