Неравенства

Вычтем второе уравнение из первого:

$$(a - 2)x = 3 - a$$

Если $a \ne 2$, то

$$x = \frac{3-a}{a-2}$$

Подставим во второе:

$$y = a - 2x = a - 2 \cdot \frac{3-a}{a-2} = \frac{a^2-6}{a-2}$$

Если $a = 2$, то

$$\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$$

Противоречие, решений нет.

Ответ:

• при $a \ne 2$:

$$x = \frac{3-a}{a-2}, \qquad y = \frac{a^2-6}{a-2}$$

• при $a = 2$ решений нет.

Из первого уравнения:

$$x = 3 - 2y$$

Подставим во второе:

$$a(3 - 2y) + 4y = 6$$

$$3a - 2ay + 4y = 6$$

$$(4 - 2a)y = 6 - 3a$$

$$2(2 - a)y = 3(2 - a)$$

Если $a \ne 2$, то

$$y = \frac{3}{2}, \qquad x = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 0$$

Если $a = 2$, то второе уравнение:

$$2x + 4y = 6$$

Это удвоенное первое уравнение, значит решений бесконечно много.

Ответ:

• при $a \ne 2$: $(0;\frac{3}{2})$
• при $a = 2$ — бесконечно много решений.

Если $a \ne 0$, второе уравнение делим на $a$:

$$x + y = \frac{1}{a}$$

Сравниваем с первым:

$$x + y = a$$

Значит нужно, чтобы

$$a = \frac{1}{a} \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Если $a = 1$, то

$$x + y = 1$$

Оба уравнения совпадают, бесконечно много решений.

Если $a = -1$, то

$$x + y = -1$$

Тоже бесконечно много решений.

Если $a = 0$, второе уравнение превращается в

$$0 = 1$$

Решений нет.

Если $a \ne 0, \pm 1$, то

$$x + y = a \qquad \text{и} \qquad x + y = \frac{1}{a}$$

Это разные прямые, решений нет.

Ответ:

• при $a = \pm 1$ — бесконечно много решений;
• при всех остальных $a$ — решений нет.

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x - ay - ax - y = 0$$

Лучше сразу:

$$(x + ay) - (ax + y) = 0$$

$$(1 - a)x + (a - 1)y = 0$$

$$(1 - a)(x - y) = 0$$

Если $a \ne 1$, то

$$x = y$$

Подставим в первое:

$$x + ax = 2$$

$$(1 + a)x = 2$$

Если $a \ne -1$, то

$$x = y = \frac{2}{a+1}$$

Если $a = 1$, то система:

$$x + y = 2$$

Оба уравнения одинаковые, решений бесконечно много.

Если $a = -1$, то

$$\begin{cases} x - y = 2 \\ -x + y = 2 \end{cases}$$

Сложим:

$$0 = 4$$

Противоречие.

Ответ:

• при $a \ne \pm 1$:

$$x = y = \frac{2}{a+1}$$

• при $a = 1$ — бесконечно много решений;
• при $a = -1$ — решений нет.

Сложим уравнения:

$$(x + y) + (x - y) = 7 + 1$$

$$2x = 8$$

$$x = 4$$

Подставим в первое уравнение:

$$4 + y = 7$$

$$y = 3$$

Ответ: (4;3)