Неравенства

$$(*) x > 0$$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $$\frac{\log_8x}{\log_8x - \log_864} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8^2x - 2\log_8x}$$ $$\frac{\log_8x}{\log_8x - 2} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8x (\log_8x - 2)}$$

Введем замену $t = \log_8x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t(t - 2)}$$ $$\frac{t^2}{t(t - 2)} - \frac{2(t - 2)}{t(t - 2)} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0$$ $$\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t = 1\\ &t > 2\\ &t < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_8x = 1\\ &\log_8x > 2\\ &\log_8x < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right.$$ С учётом $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Получаем ответ: $$x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$$ Преобразуем исходное неравенство: $$\log_2x + \frac{2}{\log_2x} \geq \frac{3}{(\log_2x)^3}$$

Сделаем замену переменной: $$t = \log_2x$$ Тогда неравенство примет вид: $$t + \frac{2}{t} \geq \frac{3}{t^3}$$

Перенесём все слагаемые в одну часть: $$t + \frac{2}{t} - \frac{3}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{t^4 + 2t^2 - 3}{t^3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^4 +t^2+ 2t^2 - t^2 - 3}{t^3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2(t^2 + 3) - (t^2 + 3)}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{(t^2 - 1)(t^2 + 3)}{t^3} \geq 0$$

Так как $t^2 + 3 > 0$ для всех $t$, неравенство упрощается до: $$\frac{t^2 - 1}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{(t - 1)(t + 1)}{t^3} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in [-1; 0) \cup [1; +\infty)$$

Вернёмся к переменной $x$: $$\left[\begin{aligned} &t \geq 1\\ &\begin{cases} t \geq -1\\ t < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x \geq 1\\ &\begin{cases} \log_2x \geq -1\\ \log_2x < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \geq 2\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{1}{2}\\ x < 1 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [\tfrac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$$

Ответ: $x \in [\tfrac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$

$$(*) x > 0$$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3(81x) = \log_381 + \log_3x = 4 + \log_3x$$ $$\log_3x^8 = 8\log_3x$$ $$\log_3^2x - 16 = (\log_3x - 4)(\log_3x + 4)$$

Обозначим $t = \log_3x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 4}{t - 4} + \frac{t - 4}{t + 4} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 4)^2 + (t - 4)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{t^2 + 8t + 16 + t^2 - 8t + 16}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{2t^2 + 32}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)} \Leftrightarrow \frac{2t^2 + 8t + 8}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t + 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 4\\ &t < -4\\ &t = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x > 4\\ &\log_3x < -4\\ &\log_3x = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x > \log_381\\ &\log_3x < \log_3\tfrac{1}{81}\\ &\log_3x = \log_3\tfrac{1}{9} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x > 81\\ &x < \tfrac{1}{81}\\ & x = \tfrac{1}{9} \end{aligned}\right.$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем систему:

$$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} & x > 81\\ &x < \tfrac{1}{81}\\ & x = \tfrac{1}{9} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Получаем ответ: $x \in \left(0; \tfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\tfrac{1}{9}\right\} \cup \left(81; +\infty\right)$

Ответ: $x \in \left(0; \tfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\tfrac{1}{9}\right\} \cup \left(81; +\infty\right)$

$$(*) x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{5^4}(x + 2) \geq \log_5(x + 2)^2$$ $$\frac{x^2}{4}\log_{5}(x + 2) \geq 2\log_5|x + 2|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x + 2$: $$\frac{x^2}{8}\log_{5}(x + 2) \geq \log_5(x + 2) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{8} - 1\right)\log_{5}(x + 2) \geq 0$$ $$(x^2 - 8)\log_{5}(x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\log_{5}(x + 2) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm2\sqrt{2}; \log_5(x+2) = 0 \Leftrightarrow x = -1$$

Решение неравенства: $x \in [-2\sqrt{2}; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in(-2; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

Ответ: $x \in(-2; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

$$(*) x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{7^3}(x - 1) \geq \log_7(x - 1)^2$$ $$\frac{x^2}{3}\log_{7}(x - 1) \geq 2\log_7|x - 1|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x - 1$: $$\frac{x^2}{6}\log_{7}(x - 1) \geq \log_7(x - 1) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{6} - 1\right)\log_{7}(x - 1) \geq 0$$ $$(x^2 - 6)\log_{7}(x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})\log_{7}(x - 1) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{6}; \log_7(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 2$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{6}; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in (1; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

Ответ: $x \in (1; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$