Неравенства

$$(*) 7 - 2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 7 \Rightarrow x < \log_2 7$$

Сравним основание логарифма с 1: $$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{6} > 1 \Leftrightarrow \sqrt{3} + \sqrt{19} > 6 \Leftrightarrow 3 + 2\sqrt{57} + 19 > 36 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sqrt{57} > 14 \Leftrightarrow 228 > 196 \text{ верно }$$ Таким образом, основание логарифма: $$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{6} > 1$$

Так как основание логарифма больше 1, неравенство равносильно: $$5 \geq 7 - 2^x \Rightarrow 2^x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничение $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; \log_2 7)$$

Ответ: $x \in [1; \log_2 7)$

$$(*) x > 0$$

Учитывая ограничения $(*)$, модуль в знаменателе раскроется со знаком "плюс": $$\frac{\log_3(9x)\cdot\log_4(64x)}{5x^2 - x} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{(9x - 1)(64x - 1)}{x(5x - 1)} \leq 0$$

С учётом ограничения получаем ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}] \cup [\tfrac{1}{9}; \tfrac{1}{5})$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}] \cup [\tfrac{1}{9}; \tfrac{1}{5})$

$$(*) x > 0$$

Учитывая ограничения $(*)$, модуль в знаменателе раскроется со знаком "плюс": $$\frac{\log_2(8x)\cdot\log_3(27x)}{x^2 - x} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{(8x - 1)(27x - 1)}{x(x - 1)} \leq 0$$

С учётом ограничения получаем ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{27}] \cup [\tfrac{1}{8}; 1)$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{27}] \cup [\tfrac{1}{8}; 1)$

$$(*) \begin{cases} x^2 + x - 2 \geq 0\\ x \neq 1\\ x > 0\\ x^2 + x + 1 > 0 (D < 0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1)(x + 2) \geq 0\\ x \neq 1\\ x > 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\\ x \neq 1\\ x > 0\\ \end{cases}$$ $$(*) x \in (1; +\infty)$$

Вернёмся к исходному неравенству. С учётом $(*)$, $\log_x3 > 0$ при любом значении $x$.

Разделим на $\log_x3$: $$\frac{\log_{x}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x +1)}{\log_x3} \leq 1$$

Воспользуемся формулой $\frac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb$: $$\log_{3}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x + 1) \leq 1$$ Прибавим и отнимем $2$ в аргументе правого логарифма: $$\log_{3}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x -2 + 3) \leq 1$$ Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 + x - 2}, t \geq 0$: $$\log_{3}(t + 1)\cdot\log_7(t^2 + 3) \leq 1$$ Заметим, что аргументы логарифмов всегда неотрицательны и основания логарифмов больше единицы, значит левая часть неравенства всегда неотрицательна.

Также заметим, что при $t = 2$ оба логарифма равны $1$, если же $t < 2$ то значения логарифмов будут не превышать $1$. Значит, чтобы их произведение было не больше $1$, значения $t$ должны не превышать $2$.

Тогда запишем систему: $$\begin{cases} t \geq 0\\ t \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x^2 + x - 2} \geq 0\\ \sqrt{x^2 + x - 2} \leq 2 \end{cases}$$ C учётом $(*)$ имеем: $$\begin{cases} \sqrt{x^2 + x - 2} \geq 0\\ \sqrt{x^2 + x - 2} \leq 2 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 \leq 4 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 6 \leq 0 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 2) \leq 0 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in [-3; 2] \\ x > 1 \end{cases}$$

Получаем: $x \in (1; 2]$

Ответ: $x \in (1; 2]$

$$(*) 6x - x^2 - 7 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 7 < 0 \Leftrightarrow (x - 3 - \sqrt2)(x - 3 + \sqrt2) < 0$$ $$x \in (3 - \sqrt2; 3 + \sqrt2)$$ Вернёмся к неравенству: $$\frac{1}{7^{|x - 3|}}\log_2(6x - x^2 - 7) \geq 1$$ Учитывая, что $7^{|x - 3|} > 0$ при любом значении $x$: $$\log_2(6x - x^2 - 7) \geq 7^{|x - 3|}$$ Проанализируем обе части неравенства.

Слева от знака неравенства логарифм по основанию $2 > 1$, значит большему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

Аргументом логарифма является квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшей степени. Значит наибольшее значение функция принимает в точке $x_0 = \frac{-6}{-2} = 3$.

Найдём значение аргумента в этой точке: $6\cdot 3 - 9 - 7 = 2$.

Тогда наибольшее значение левой части неравенства равно: $$\log_22 = 1$$

Рассмотрим правую часть неравенства. $7^{|x - 3|}$ – монотонно возрастающая функция, причем её показатель всегда неотрицателен. Значит наименьшее её значение будет в точке, где показатель равен 0. $$|x - 3| = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 7^{|3 -3|} = 1$$ Получаем, что максимальное значение левой части неравенства и минимальное значение правой части неравенства равны $1$ и достигаются в точке $x = 3$.

Тогда неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна правой части, то есть в точке $x = 3$.

Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $(*)$.

Ответ: $\{3\}$;