Неравенства

$$(*) \begin{cases} 5x - 27 > 0 \\ x - 5 > 0 \\ \log_5(x - 5) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{27}{5} \\ x > 5 \\ x \neq 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (5,4; 6) \cup (6; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{\log_5(5x - 27)}{\log_5(x - 5)} - 1 \geq 0$$ $$\frac{\log_5(5x - 27) - \log_5(x - 5)}{\log_5(x - 5)} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(5x - 27 - x + 5)}{(x - 6)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(4x - 22)}{(x - 6)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 5,5)}{(x - 6)} \geq 0$$

C учетом ограничений (*), получаем: $$x \in (5,4; 5,5] \cup (6; +\infty)$$

Ответ: $x \in (5,4; 5,5] \cup (6; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} x^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^3 > 0 \\ (x-1)(x+1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (1; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_{2^3}(x-1)^3 \geq \log_2(x^2 - 1) - \log_2 32$$ $$\frac{3}{3}\log_2(x-1) \geq \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{32}\right)$$ $$\log_2(x-1) \geq \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{32}\right)$$

Так как основания логарифмов $2 > 1$, неравенство равносильно: $$x - 1 \geq \frac{x^2 - 1}{32}$$ $$32(x - 1) - (x^2 - 1) \geq 0$$ $$- x^2 + 32x - 31 \geq 0$$ $$x^2 - 32x + 31 \leq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 31) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [1; 31]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (1; 31]$$

Ответ: $x \in (1; 31]$

$$(*) \begin{cases} x - 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \\ x^2 - 10x + 25 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > 7 \\ (x - 5)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (7; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.2 = 5^{-1} \Rightarrow \log_{0.2}(x - 5) = -\log_5(x - 5)$$ $$\log_{0.2}^2(x - 5) = (\log_5(x - 5))^2$$ $$\log_5(x^2 - 10x + 25) = \log_5((x - 5)^2) = 2\log_5|x - 5| = 2\log_5(x - 5)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_5(x - 5))^2 - 2\log_5(x - 5) + 1) \cdot \log_5(x - 7) \leq 0$$ $$(\log_5(x - 5) - 1)^2 \cdot \log_5(x - 7) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_5(x - 5) - \log_5 5)^2 \cdot (\log_5(x - 7) - \log_5 1) \leq 0$$ $$(x - 5 - 5)^2 \cdot (x - 7 - 1) \leq 0$$ $$(x - 10)^2 \cdot (x - 8) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 8] \cup \{10\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (7; 8] \cup \{10\}$$

Ответ: $x \in (7; 8] \cup \{10\}$

$$(*) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x^2 + 6x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -2 \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.25 = 4^{-1} \Rightarrow \log_{0.25}(x + 3) = -\log_4(x + 3)$$ $$\log_{0.25}^2(x + 3) = (\log_4(x + 3))^2$$ $$\log_4(x^2 + 6x + 9) = \log_4((x + 3)^2) = 2\log_4|x + 3| = 2\log_4(x + 3)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_4(x + 3))^2 - 2\log_4(x + 3) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$ $$(\log_4(x + 3) - 1)^2 \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_4(x + 3) - \log_4 4)^2 \cdot (\log_4(x + 2) - \log_4 1) \leq 0$$ $$\left(\frac{x + 3}{4} - 1\right)^2 \cdot (x + 2 - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)^2 \cdot (x + 1) \leq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -1] \cup \{1\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$$

Ответ: $x \in (-2; -1] \cup \{1\}$

$$(*) \tfrac{x}{5} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 5$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\frac{x}{3}\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) - 3\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) \geq 0$$ $$\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) \left(\frac{x}{3} - 3\right) \geq 0$$ $$\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) (x - 9) \geq 0$$

Найдем нули выражения: $$\log_2\left(\tfrac{x}{5} - 1\right) = 0 \quad \text{или} \quad x - 9 = 0$$ $$\tfrac{x}{5} - 1 = 1 \quad \text{и} \quad x = 9$$ $$x = 10 \quad \text{и} \quad x = 9$$

Учитывая $(*)$, получаем ответ: $$x \in (5; 9] \cup [10; +\infty)$$

Ответ: $x \in (5; 9] \cup [10; +\infty)$