Неравенства

Преобразуем числитель: $$2^{2x + 1} - 96\cdot0,5^{2x + 3} + 2 = 2\cdot2^{2x} - 96\cdot\frac{1}{8}\cdot2^{-2x} + 2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\cdot(2^{2x})^2 - 12\cdot2^{-2x} + 2$$

Получаем: $$\frac{2\cdot2^{2x} - 12\cdot2^{-2x} + 2}{x + 1} \leq 0$$ Умножим неравенство на $2^{2x} > 0$ $$\frac{2\cdot(2^{2x})^2 + 2\cdot2^{2x} - 12}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(2^{2x})^2 + 2^{2x} - 6}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(2^{2x} - 2)(2^{2x} + 3)}{x + 1} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{(2^{2x} - 2^1)(2^{2x} + 3)}{x + 1} \leq 0$$ Заметим, что $2^{2x} + 3 > 0$ при любом значении $x$. Разделим обе части неравенства без потери знака: $$\frac{(2^{2x} - 2^1)}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x - 1}{x + 1} \leq 0$$

Ответ: $(-1; \tfrac{1}{2}]$

Преобразуем числитель, выделяя степени с основанием 3: $$27^{x + 1} - 3\cdot9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1 = 3^{3(x + 1)} - 3\cdot3^{2(x + 1)} + 9\cdot3^x - 1$$ $$= 3^{3x + 3} - 3\cdot3^{2x + 2} + 9\cdot3^x - 1 = 27\cdot3^{3x} - 27\cdot3^{2x} + 9\cdot3^x - 1$$

Сделаем замену $t = 3^x$, $t > 0$: $$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1$$

Заметим, что это полный куб: $$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1 = (3t - 1)^3$$

Возвращаемся к переменной $x$: $$(3\cdot3^x - 1)^3 = (3^{x + 1} - 1)^3$$

Преобразуем знаменатель: $$50x^2 + 50x + 12,5 = 50(x^2 + x + 0,25) = 50(x + 0,5)^2$$

Неравенство принимает вид: $$\frac{(3^{x + 1} - 1)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0$$

Применяем метод рационализации: $$\frac{(3^{x + 1} - 3^0)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 1)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0$$

Ответ: $x \in [-1; -0,5) \cup (-0,5; +\infty)$

Разложим числитель на множители: $$x^2(x + 1) -(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x + 1)^2(x - 1)$$ Преобразуем знаменатель: $$4^{x^2} - 8\cdot2^{x^2} + 16 = (2^{x^2})^2 - 8\cdot2^{x^2} + 16 = (2^{x^2} - 4)^2$$

Получаем: $$\frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(2^{x^2} - 4)^2} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(2^{x^2} - 2^2)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(x^2 - 2)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(x + 1)^2(x - 1)}{(x - \sqrt2)^2(x + \sqrt2)^2} \geq 0$$

Ответ: $\{-1\} \cup [1; +\sqrt2) \cup (\sqrt2; +\infty)$

Преобразуем числитель: $$4^{x + 1} - 192\cdot0,25^{x + 1} - 4 = 4\cdot4^x - 192\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{x + 1} - 4$$ $$= 4\cdot4^x - 192\cdot\frac{1}{4}\cdot4^{-x} - 4 = 4\cdot4^x - 48\cdot4^{-x} - 4$$

Получаем: $$\frac{4\cdot4^x - 48\cdot4^{-x} - 4}{x + 2} \leq 0$$

Умножим неравенство на $4^x > 0$: $$\frac{4\cdot(4^x)^2 - 48 - 4\cdot4^x}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4\cdot(4^x)^2 - 4\cdot4^x - 48}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(4^x)^2 - 4^x - 12}{x + 2} \leq 0$$

Разложим числитель на множители: $$(4^x)^2 - 4^x - 12 = (4^x - 4)(4^x + 3)$$

По методу рационализации: $$\frac{(4^x - 4^1)(4^x + 3)}{x + 2} \leq 0$$

Заметим, что $4^x + 3 > 0$ при любом значении $x$. Разделим обе части неравенства без потери знака: $$\frac{4^x - 4}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$$

Ответ: $(-2; 1]$

$$(9\cdot3^x + \tfrac{9}{3^{x}})x^2 - \frac{45x^2}{2} \geq 0$$ Разделим обе части неравенства на $9$: $$(3^x + \tfrac{1}{3^{x}})x^2 - \frac{5x^2}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^2(3^x + \tfrac{1}{3^x} - \tfrac{5}{2}) \geq 0$$ Домножим обе части неравенства на $3^x > 0$: $$x^2(3^{2x} -2,5\cdot3^x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x^2(3^x - 2)(3^x - \tfrac{1}{2}) \geq 0$$ По методу рационализации: $$x^2(3^x - 3^{\log_32})(3^x - 3^{\log_3\tfrac{1}{2}}) \geq 0 \Leftrightarrow x^2(x - \log_32)(x - \log_3\tfrac{1}{2}) \geq 0$$ $$x^2(x - \log_32)(x + \log_32) \geq 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; -\log_3 2] \cup \{0\} \cup [\log_3 2; +\infty)$