Неравенства

Преобразуем знаменатель: $$\frac{10^x - 8\cdot5^x}{2^x(x - 8) - 8(x - 8)} \leq \frac{5}{x - 8} \Leftrightarrow \frac{10^x - 8\cdot5^x}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq \frac{5}{x - 8}$$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{10^x - 8\cdot5^x -5(2^x - 8)}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{5^x(2^x - 8) -5(2^x - 8)}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(5^x - 5)(2^x - 8)}{(x - 8)(2^x - 8)} \leq 0$$ По методу рационализации: $$\frac{(5^x - 5^1)(2^x - 2^3)}{(x - 8)(2^x - 2^3)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 8)(x - 3)} \leq 0$$

Решение: $[1; 3) \cup (3; 8)$

$$*\begin{cases} x^2 + x \neq 1\\ x^2 + x > 0\\ x^2 - 2x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 1 \neq 0\\ x(x + 1) > 0\\ (x - 1)^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\\ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow x \in \left(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2};1 \right) \cup (1; +\infty)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$\log_{x^2+ x}(x^2 - 2x + 1) - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \log_{x^2+ x}(x^2 - 2x + 1) - \log_{x^2+ x}(x^2 + x) \leq 0$$ По методу рационализации: $$(x^2 + x - 1)(x^2 -2x + 1 - x^2 - x) \leq 0 \Leftrightarrow \left(x - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)(1 - 3x) \leq 0$$

Получаем: $$x \in \left[\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right)$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \frac{1}{3}\right] \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; 1\right) \cup (1; +\infty)$$

Ответ: $\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \frac{1}{3}\right] \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; 1\right) \cup (1; +\infty)$

$$*\begin{cases} \tfrac{2 - x}{2} > 0\\ \tfrac{2 - x}{2} \neq 1\\ \tfrac{6}{2 + x} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2 - x > 0\\ 2 - x \neq 2\\ 2 + x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 2\\ x \neq 0\\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$\log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} \geq - 1 \Leftrightarrow \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} + \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{2 - x}{2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{6}{2 + x} - \log_{\frac{2 - x}{2}}\frac{2}{2 - x} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\left(\frac{2 - x}{2} - 1\right)\left(\frac{6}{2 + x} - \frac{2}{2 - x} \right) \geq 0 \Leftrightarrow x\left(\frac{12 - 6x - 4 - 2x}{(2 - x)(2 + x)}\right) \leq 0$$ $$\Leftrightarrow \frac{x(1 - x)}{(2 - x)(2 + x)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x(x - 1)}{(x - 2)(2 + x)} \leq 0$$

Получаем: $$x \in (-2; 0] \cup [1; 2)$$

Учитывая ограничения $*$, получаем ответ:

$$x \in (-2; 0) \cup [1; 2)$$

Ответ: $(-2; 0) \cup [1; 2)$

$$(*) \begin{cases} 7 - x \neq 1\\ 7 - x > 0\\ 2x + 3 > 0\\ 2x + 3 \neq 1\\ 3x + 4 > 0\\ 3x + 4 \neq 1\\ 3x^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 6\\ x < 7\\ x > -1,5\\ x \neq -1\\ x> -\frac{4}{3}\\ x \neq -1\\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 6\\ x < 7\\ x > -1,5\\ x \neq -1\\ x> -\frac{4}{3}\\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\tfrac{4}{3}; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 6) \cup (6; 7)$$

Если выполняется условие $(*)$, то выполняется свойство: $$\log_ab\cdot\log_bc = \log_ac$$

Преобразуем неравенство: $$\log_{7 - x}(3x^2) \leq \log_{7 - x}(10x + 25) \Leftrightarrow \log_{7 - x}(3x^2) - \log_{7 - x}(10x + 25) \leq 0$$ По методу рационализации: $$(7 - x - 1)(3x^2 - 10x - 25) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 6)(3x^2 - 10x - 25) \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x - 6)(x - 5)(3x + 5) \geq 0$$

Получаем: $$x \in [-\tfrac{5}{3}; 5] \cup [6; +\infty)$$

С учётом ограничения $(*)$, получаем ответ: $$x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 5] \cup (6; 7)$$

Ответ: $\left(-\frac{4}{3}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 5] \cup (6; 7)$

$$*\begin{cases} x^2 + 6x + 10 > 0\\ x^2 + 6x + 10 \neq 1\\ 3x + 10 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)^2 + 1 > 0 \quad \text{Всегда}\\ x^2 + 6x + 9 \neq 0\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)^2 \neq 0\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq -3\\ x > -\frac{10}{3} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-\frac{10}{3}; -3\right) \cup \left(-3; +\infty\right)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$(4x + 13)\cdot\log_{x^2 + 6x + 10}(3x + 10) \geq 0$$

По методу рационализации: $$(4x + 13)\cdot(x^2 + 6x + 10 - 1)(3x + 10 - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (4x + 13)(x^2 + 6x + 9)(3x + 9) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (4x + 13)(x + 3)^2\cdot 3(x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow 3(4x + 13)(x + 3)^3 \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (4x + 13)(x + 3)^3 \geq 0$$

Получаем: $$x \in \left(-\infty;-\frac{13}{4}\right] \cup [-3; +\infty)$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in \left(-\frac{10}{3}; -\frac{13}{4}\right] \cup \left(-3; +\infty\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{10}{3}; -\frac{13}{4}\right] \cup \left(-3; +\infty\right)$