Неравенства

Преобразуем исходное неравенство:

$$4^{9|x| - 4x^2}\cdot4^{\log_49^{4|x|}} \geq 1 \Leftrightarrow 4^{9|x| - 4x^2 + \log_49^{4|x|}} \geq 1 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4^{9|x| - 4x^2 + 4|x|\log_49} \geq 4^0 \Leftrightarrow 9|x| - 4x^2 + 4|x|\log_49 \leq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4x^2 - |x|(9 + 4\log_49) \leq 0 \Leftrightarrow |x|(4|x| - 9 - 4\log_49) \leq 0$$ Так как $|x| \geq 0$ при любом значении $x$, знак неравенства будет определять множитель $(4|x| - 9 - 4\log_49)$: $$\Leftrightarrow 4|x| - 9 - 4\log_49 \leq 0 \Leftrightarrow |x| \leq \frac{9}{4} + \log_49 \Leftrightarrow |x| \leq \frac{9}{4} + \log_23 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \leq \frac{9}{4} + \log_23\\ x \geq -\frac{9}{4} - \log_23 \end{cases}$$

Получаем ответ: $$x \in \left[-\frac{9}{4} - \log_23; \frac{9}{4} + \log_23\right]$$

Ответ: $\left[-\frac{9}{4} - \log_23; \frac{9}{4} + \log_23\right]$

Пусть $5^x - 10 = t > 0$

$$t \geq \frac{225}{t} \Leftrightarrow \frac{t^2 - 225}{t} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 15)(t + 15)}{t} \geq 0$$

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq -15 \\ t < 0 \end{cases}\\ &t \geq 15 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 5^x - 10 \geq -15 \\ 5^x - 10 < 0 \end{cases}\\ &5^x - 10 \geq 15 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x < 10\\ &5^x \geq 5^2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &5^x < 5^{\log_510}\\ &5^x \geq 5^2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < \log_510\\ &x \geq 2 \end{aligned}\right. \Rightarrow x \in (-\infty; \log_510) \cup [2; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; \log_510) \cup [2; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} x^2 - 9 > 0\\ x + 3 \neq 0\\ \frac{x - 3}{x + 3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\\ x \neq -3 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{2^{-1}}\frac{x - 3}{x + 3} + 2\log_{2^2}(x^2 - 9) \geq 5$$ $$-\log_2\frac{x - 3}{x + 3} + \log_2(x^2 - 9) \geq 5 \Leftrightarrow \log_2\frac{x^2 - 9}{\frac{x - 3}{x + 3}} \geq 5$$ $$\log_2\frac{(x - 3)(x + 3)(x + 3)}{x - 3} \geq 5 \Leftrightarrow \log_2(x + 3)^2 \geq 5$$ $$\log_2(x + 3)^2 \geq \log_2 32$$ Так как основания логарифмов 2 > 1, неравенство равносильно: $$(x + 3)^2 \geq 32 \Leftrightarrow (x + 3 - \sqrt{32})(x + 3 + \sqrt{32}) \Leftrightarrow (x + 3 - 4\sqrt2)(x + 3 + 4\sqrt2)$$

$$x \in \left(-\infty; -3 - 4\sqrt{2}\right] \cup \left[-3 + 4\sqrt{2}; +\infty\right)$$

Пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-\infty; -3 - 4\sqrt{2}] \cup (3; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -3 - 4\sqrt2] \cup (3; + \infty)$

$$(*) 4 - x \geq 0 \Rightarrow (*) x \leq 4$$

Преобразуем знаменатель: $$2^{x^2 - 5} - 17\cdot2^{0,5x^2 - 4,5} + 1 = \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\frac{2^{0,5x^2}}{\sqrt{2^9}} + 1 = \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\left(\frac{2^{x^2}}{2^9}\right)^\frac{1}{2} + 1 =$$ $$= \frac{2^{x^2}}{32} - 17\cdot\frac{\left(2^{x^2}\right)^\frac{1}{2}}{16\sqrt2} + 1$$ Пусть $(2^{x^2})^\frac{1}{2} = t > 0$ $$\frac{t^2}{32} - 17\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1$$ Знак всего выражения зависит только от знаменателя (числитель $\sqrt{4-x} \geq 0$), поэтому при условии $(*)$, неравенство равносильно: $$\frac{t^2}{32} - 17\cdot\frac{t}{16\sqrt2} + 1 < 0\Leftrightarrow \sqrt2t^2 - 34t + 32\sqrt2 < 0 \Leftrightarrow t^2 - 17\sqrt2\cdot t + 32 < 0$$ $$D = 578 - 4\cdot1\cdot32 = 450$$ $$\sqrt{D} = 15\sqrt2$$

$$t = \frac{17\sqrt2 + 15\sqrt2}{2} = 16\sqrt2, \quad t = \frac{17\sqrt2 - 15\sqrt2}{2} = \sqrt2$$ $$(2^{0,5x^2} - \sqrt2)(2^{0,5x^2} - 16\sqrt2) < 0$$ $$(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{1}{2}})(2^{0,5x^2} - 2^{\frac{9}{2}}) < 0$$ По методу рационализации: $$(0,5x^2 - 0,5)(0,5x^2 - 4,5) < 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) < 0$$

Получаем: $$x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$$

Так как исходное неравенство нестрогое ($\leq 0$), то $\sqrt{4-x} = 0$ даёт решение: $x = 4$.

Таким образом, пересекая с ограничением $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-3; -1) \cup (1; 3) \cup \{4\}$$

Ответ: $(-3; -1) \cup (1; 3) \cup \{4\}$

$$(*) \quad x^2 - 7 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -\sqrt7] \cup [\sqrt7; +\infty)$$

$$t < 1 + \frac{4}{5-t} \Leftrightarrow t - 1 - \frac{4}{5-t} < 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(t-1)(5-t) - 4}{5-t} < 0$$ Раскроем скобки правильно: $$(t-1)(5-t) = 5t - t^2 - 5 + t = -t^2 + 6t - 5$$ Теперь: $$\frac{-t^2 + 6t - 5 - 4}{5-t} < 0 \Leftrightarrow \frac{-t^2 + 6t - 9}{5-t} < 0$$ $$\frac{t^2 - 6t + 9}{5-t} > 0 \Leftrightarrow \frac{(t-3)^2}{5-t} > 0$$

Так как числитель $(t-3)^2 \geq 0$ всегда, причём равен 0 только при $t=3$, то неравенство выполняется когда: $$\begin{cases} t \neq 3 \\ 5 - t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x^2 - 7} \neq 3 \\ \sqrt{x^2 - 7} < 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - 7 \neq 9 \\ x^2 - 7 < 25 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 \neq 16 \\ x^2 < 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq \pm 4 \\ (x - 4\sqrt2)(x + 4\sqrt2) <0 \end{cases}$$ $$x \in (-4\sqrt2; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; 4\sqrt2)$$

Учитывая условие $(*)$, получаем ответ: $$x \in (-4\sqrt2; -4) \cup (-4; -\sqrt7] \cup[\sqrt7; 4) \cup (4; 4\sqrt2)$$

Ответ: $(-4\sqrt2; -4) \cup (-4; -\sqrt7] \cup[\sqrt7; 4) \cup (4; 4\sqrt2)$