Неравенства

$$(*) x \neq 0$$ Преобразуем неравенство: $$80\cdot5^{-\frac{8}{x}} - 189\cdot5^{-\frac{4}{x}}\cdot4^{-\frac{4}{x}} + 100\cdot4^{-\frac{8}{x}} \leq 0$$ Домножим неравенство на $5^{\frac{4}{x}}\cdot4^{\frac{4}{x}} > 0$: $$80\cdot5^{-\frac{4}{x}}\cdot4^{\frac{4}{x}} - 189 + 100\cdot4^{-\frac{4}{x}}\cdot5^{\frac{4}{x}} \leq 0$$ $$80\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{4}{x}} - 189 + 100 \cdot\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \leq 0$$ Пусть $t = \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} > 0$

Тогда: $$100t + \frac{80}{t} - 189 \leq 0 \Leftrightarrow 100t^2 -189t + 80 \leq 0$$ $$D = 189^2 - 4\cdot100\cdot80 = 35721 - 32000 =3721 = 61^2$$ $$t_1 = \frac{189 + 61}{200} = \frac{5}{4}$$ $$t_2 = \frac{189 - 61}{200} = \frac{128}{200} = \frac{16}{25}$$ $$\left(t - \frac{16}{25}\right)\left(t - \frac{5}{4}\right) \leq 0 \Rightarrow t \in \left[\frac{16}{25}; \frac{5}{4}\right]$$ $$\begin{cases} t \geq \frac{16}{25}\\ t \leq \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \geq \frac{16}{25}\\ \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \leq \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \geq \left(\frac{5}{4}\right)^{-2}\\ \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \leq \left(\frac{5}{4}\right)^1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{4}{x} \geq -2\\ \tfrac{4}{x} \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x + 2}{x} \geq 0\\ \frac{x - 4}{x} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)\\ x \in (-\infty; 0) \cup [4; +\infty) \end{cases}$$ Пересекая решения, получаем ответ: $$x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$

$$(*) \quad x \neq 0$$ Преобразуем неравенство: $$3\cdot25\cdot25^{-\frac{3}{x}} - 152\cdot5^{-\frac{3}{x}}\cdot3^{-\frac{3}{x}} + 5\cdot9\cdot3^{-\frac{6}{x}} > 0$$ $$75\cdot25^{-\frac{3}{x}} - 152\cdot5^{-\frac{3}{x}}\cdot3^{-\frac{3}{x}} + 45\cdot3^{-\frac{6}{x}} > 0$$ Домножим неравенство на $5^{\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} > 0$: $$75\cdot25^{-\frac{3}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} - 152 + 45\cdot3^{-\frac{6}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} > 0$$ $$75\cdot(5^{-2})^{\frac{3}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} - 152 + 45\cdot3^{-\frac{6}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} > 0$$ $$75\cdot5^{-\frac{6}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} - 152 + 45\cdot3^{-\frac{3}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}} > 0$$ $$75\cdot5^{-\frac{3}{x}}\cdot3^{\frac{3}{x}} - 152 + 45\cdot3^{-\frac{3}{x}}\cdot5^{\frac{3}{x}} > 0$$ $$75\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{x}} - 152 + 45\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{x}} > 0$$ Пусть $t = \left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{x}} > 0$. Тогда $\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{x}} = \frac{1}{t}$.

$$75\cdot\frac{1}{t} - 152 + 45t > 0 \quad \Big| \cdot t > 0$$ $$45t^2 - 152t + 75 > 0$$ $$D = 152^2 - 4\cdot45\cdot75 = 23104 - 13500 = 9604 = 98^2$$ $$t_{1,2} = \frac{152 \pm 98}{2\cdot45} = \frac{152 \pm 98}{90}$$ $$t_1 = \frac{152 - 98}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}, \quad t_2 = \frac{152 + 98}{90} = \frac{250}{90} = \frac{25}{9}$$ $$(t - \tfrac{3}{5})(t - \tfrac{25}{9}) > 0$$ $$t \in (-\infty; \tfrac{3}{5}) \cup (\tfrac{25}{9}; +\infty)$$

$$\left[\begin{aligned} &\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{x}} < \left(\frac{3}{5}\right)\\ &\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{x}} > \left(\frac{5}{3}\right)^2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{x}} < \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\\ &\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{3}{x}} > \left(\frac{5}{3}\right)^2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\tfrac{3}{x} < -1\\ &\tfrac{3}{x} > 2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \tfrac{x + 3}{x} < 0\\ \tfrac{3 - 2x}{x} >0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x \in (-3; 0) \\ x \in \left(0; 1,5\right) \end{aligned}\right.$$ Объединяя решения, получаем ответ: $$x \in (-3; 0) \cup (0; 1,5)$$

Ответ: $(-3; 0) \cup (0; 1,5)$

$$5^{\log_{5}(9-x^2)}+x^4-29\ge 0$$

1. Область допустимых значений

$$9-x^2>0$$ $$x^2<9$$

$$-3<x<3$$

1. Решение неравенства

$$5^{\log_{5}(9-x^2)}=9-x^2$$ $$9-x^2+x^4-29\ge 0$$ $$x^4-x^2-20\ge 0$$

Пусть $x^2=t$ $(t\ge 0)$

$$t^2-t-20\ge 0$$ $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=1+80=81$$ $$t_1=\frac{1+9}{2}=5,\quad t_2=\frac{1-9}{2}=-4$$ $$t^2-t-20=(t-5)(t+4)\ge 0$$

$$t\le -4 \quad \text{или} \quad t\ge 5$$

1. Возвращаемся к переменной $x$

$$t\le -4$$

невозможно,

так как $t=x^2\ge 0$

$$t\ge 5$$ $$x^2\ge 5$$ $$|x|\ge \sqrt{5}$$ $$x\le -\sqrt{5}$$ или $$x\ge \sqrt{5}$$

1. Учитываем ОДЗ: $-3<x<3$

$$\text{Ответ: }[-3;-\sqrt{5}]\cup[\sqrt{5};3]$$

Решение. Запишем ОДЗ: $$4+x^2>0 \Leftrightarrow x\in\mathbb R$$

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $a^{\log_a b}=b$: $$4+x^2+x^4-10\ge 0$$ $$x^4+x^2-6\ge 0$$

Сделаем замену $x^2=t,\ t\ge 0$: $$t^2+t-6\ge 0$$ $$(t+3)(t-2)\ge 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов с учетом того, что $t\ge 0$:

$$t\in[2;+\infty)$$ Сделаем обратную замену: $$x^2\ge 2$$ $$x\in(-\infty;-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2};+\infty)$$ Ответ: $$(-\infty;-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2};+\infty).$$

Найдем ОДЗ:

$$\begin{cases} x^2-7x+12>0,\\ x-4\ne 0,\\ \dfrac{(x-3)^7}{x-4}>0 \end{cases}$$

$$x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty)$$

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

$$\log_3\left(x^2-7x+12\right)^7-\log_3 3^8-\log_3\frac{(x-3)^7}{x-4}\le 0$$

$$\log_3\frac{\left(x^2-7x+12\right)^7}{3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}\le 0$$

$$\log_3\frac{(x-3)^7(x-4)^7}{3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}\le 0$$

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

$$\log_3\frac{(x-4)^8}{3^8}\le 0$$

$$8\cdot\log_3\frac{|x-4|}{3}\le 0$$

$$\log_3\frac{|x-4|}{3}\le 0$$

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

$$(3-1)\cdot\left(\frac{|x-4|}{3}-1\right)\le 0$$

$$\frac{|x-4|-3}{3}\le 0$$

$$|x-4|\le 3$$

$$-3\le x-4\le 3$$

$$1\le x\le 7$$

Пересекая с ОДЗ, получаем

$$x\in[1;3)\cup(4;7].$$

Ответ:

$$[1;3)\cup(4;7]$$