Неравенства

Решение:

$$(*) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x^2 + 6x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -2 \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.25 = 4^{-1} \Rightarrow \log_{0.25}(x + 3) = -\log_4(x + 3)$$ $$\log_{0.25}^2(x + 3) = (\log_4(x + 3))^2$$ $$\log_4(x^2 + 6x + 9) = \log_4((x + 3)^2) = 2\log_4|x + 3| = 2\log_4(x + 3)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_4(x + 3))^2 - 2\log_4(x + 3) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$ $$(\log_4(x + 3) - 1)^2 \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_4(x + 3) - \log_4 4)^2 \cdot (\log_4(x + 2) - \log_4 1) \leq 0$$ $$\left(\frac{x + 3}{4} - 1\right)^2 \cdot (x + 2 - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)^2 \cdot (x + 1) \leq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -1] \cup \{1\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$$

Ответ: $x \in (-2; -1] \cup \{1\}$

Решение:

$$2^x + \frac{4\cdot2^x}{2^x -4} + \frac{2^{2x} + 7\cdot2^x + 20}{2^{2x} - 12\cdot2^x + 32} \leq 1$$

Пусть $2^x = t > 0$

Имеем: $$t + \frac{4t}{t -4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{t^2 - 12t + 32} \leq 1$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{t -4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{(t - 4)(t - 8)} - 1 \leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{t^2 + 7t + 20 - t^2 + 12t - 32}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{19t - 12}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{19t - 12}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t^2 -32t + 19t - 12}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$t + \frac{4t^2 -13t - 12}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{t(t - 4)(t - 8) + (t - 4)(4t + 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 4)(t^2 - 8t + 4t + 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 4)(t - 1)(t - 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq 3\\ t < 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} t > 4\\ t < 8 \end{cases}\\ &t \leq 1 \\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^x \geq 3\\ 2^x < 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2^x > 4\\ 2^x < 8 \end{cases}\\ &2^x \leq 1 \\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq \log_23\\ x < 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x > 2\\ x < 3 \end{cases}\\ &x \leq 0 \\ \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [\log_23; 2) \cup (2; 3)$}

Решение:

Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда: $$8^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4t^3,\quad 4^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2t^2,\quad 2^{x+1} = 2t.$$

Подставим в неравенство: $$\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}.$$

Разложим знаменатель: $$2t^2 - 9t + 4 = (2t-1)(t-4).$$

Выполним деление числителя на знаменатель с остатком: $$\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} = 2t + \frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)}.$$

Тогда неравенство принимает вид: $$2t + \frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}.$$

Сокращаем $2t$ и переносим всё в левую часть: $$\frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)} + \frac{1}{t-2} - \frac{3}{2t-1} \leq 0.$$

Приводим к общему знаменателю $(2t-1)(t-4)(t-2)$: $$\frac{(5t-13)(t-2) + (2t-1)(t-4) - 3(t-4)(t-2)}{(2t-1)(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Упрощаем числитель: $$(5t-13)(t-2) + (2t-1)(t-4) - 3(t-4)(t-2) = 2(2t-1)(t-3).$$

Получаем: $$\frac{2(2t-1)(t-3)}{(2t-1)(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Сокращаем на $2t-1$ (при $t \neq \frac12$): $$\frac{2(t-3)}{(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Так как $2 > 0$, знак определяется дробью: $$\frac{t-3}{(t-2)(t-4)} \leq 0.$$

Решаем методом интервалов с учётом $t > 0$ и $t \neq \frac12$.

Получаем: $$t \in (0; \tfrac12) \cup (\tfrac12; 2) \cup [3; 4).$$

Возвращаемся к $2^x = t$: $$\begin{cases} 0 < t < \frac12 \quad\Rightarrow\quad x < -1, \\ \frac12 < t < 2 \quad\Rightarrow\quad -1 < x < 1, \\ 3 \le t < 4 \quad\Rightarrow\quad \log_2 3 \le x < 2. \end{cases}$$

$$x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2).$$

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)$.

Решение:

Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда $4^x = t^2$, $2^{x+3} = 8t$. Подставим: $$\frac{t^2 - 8t + 7}{t^2 - 5t + 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}.$$ Разложим на множители: $$t^2 - 8t + 7 = (t-1)(t-7), \qquad t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4).$$ При $t \neq 1$ левая часть упрощается: $$\frac{t - 7}{t - 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t - 7}{t - 4} - \frac{t - 9}{t - 4} - \frac{1}{t - 6} \leq 0,$$ $$\frac{2}{t - 4} - \frac{1}{t - 6} \leq 0.$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{2(t-6) - (t-4)}{(t-4)(t-6)} = \frac{t - 8}{(t-4)(t-6)} \leq 0.$$

Ограничения: $t > 0$, $t \neq 1$.

Получаем: $$t \in (0;1) \cup (1;4) \cup (6;8].$$

Возвращаемся к $2^x = t$: $$0 < t < 1 \quad\Rightarrow\quad x < 0,$$ $$1 < t < 4 \quad\Rightarrow\quad 0 < x < 2,$$ $$6 < t \le 8 \quad\Rightarrow\quad \log_2 6 < x \le 3.$$

Объединяя, получаем: $$x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (\log_2 6; 3].$$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (\log_2 6; 3]$.

В обозначении $^{A}_{Z}X$:

• $A$ — массовое число (число протонов + число нейтронов)
• $Z$ — зарядовое число (число протонов, оно же порядковый номер элемента в таблице Менделеева)

Для хлора $Z=17$. Это и есть число протонов.