Неравенства

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

$$\begin{aligned} 0,25^x-0,5^{x-4,5}+128 &=0,5^{2x}-0,5^x\cdot 0,5^{-4,5}+128 \\ &=2^{-2x}-2^{-x}\cdot 2^{4,5}+2^7 \\ &=\left(2^{-x}\right)^2-2\cdot 2^{-x}\cdot 2^{3,5}+\left(2^{3,5}\right)^2 \\ &=\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2. \end{aligned}$$

Перепишем неравенство:

$$\frac{2,5^x-0,16}{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2}\le 0$$

$$\frac{2,5^x-2,5^{-2}}{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2}\le 0$$

Так как $\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ge 0$, то неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases} 2,5^x-2,5^{-2}\le 0, \\ \left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ne 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство системы:

$$2,5^x-2,5^{-2}\le 0$$

$$2,5^x\le 2,5^{-2}$$

$$x\le -2$$

Получим, что

$$x\in(-\infty;-2].$$

Решим второе неравенство системы:

$$\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ne 0$$

$$2^{-x}-2^{3,5}\ne 0$$

$$2^{-x}\ne 2^{3,5}$$

$$-x\ne 3,5$$

$$x\ne -3,5$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} x\in(-\infty;-2], \\ x\ne -3,5 \end{cases}$$

Получаем ответ:

$$x\in(-\infty;-3,5)\cup(-3,5;-2].$$

Ответ:

$$(-\infty;-3,5)\cup(-3,5;-2]$$

Пусть $t=3^x>0$. Тогда имеем

$$t-8-\frac{6t-19}{t^2-5t+6}\le \frac{1}{t-3}$$

$$\frac{(t-8)(t-2)(t-3)-(6t-19)-(t-2)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)\bigl((t-8)(t-2)-7\bigr)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)(t^2-10t+9)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

$$\frac{(t-3)(t-1)(t-9)}{(t-2)(t-3)}\le 0$$

Если $t\ne 3$, то $x\ne 1$. Тогда поделим на $(t-3)$ числитель и знаменатель:

$$\frac{(t-1)(t-9)}{t-2}\le 0$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Значит, $t\in(-\infty;1]\cup(2;3)\cup(3;9]$.

Сделаем обратную замену:

$$\left[ \begin{array}{l} 3^x\le 1 \\ 3^x>2 \\ 3^x\le 9 \\ 3^x\ne 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x\le 0 \\ x>\log_3 2 \\ x\le 2 \\ x\ne 1 \end{array} \right.$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]$$

Ответ:

$$(-\infty;0]\cup(\log_3 2;1)\cup(1;2]$$

ОДЗ неравенства:

$$\begin{cases} x^2-6x+10>0,\\ x^2-6x+10\ne 1,\\ 5x^2+3>0,\\ 4x^2+7x+3>0 \end{cases} \Longleftrightarrow x\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac{3}{4};3\right)\cup(3;+\infty)$$

Решим неравенство на ОДЗ с помощью метода рационализации. Левая часть имеет вид $2\log_{a^2}b$ и равна на ОДЗ $\log_ab$. Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно

$$(x^2-6x+10-1)(5x^2+3-4x^2-7x-3)\le 0$$

$$(x-3)^2\cdot x\cdot(x-7)\le 0$$

$$x\in[0;7]$$

Пересечем полученные решения с ОДЗ и получим окончательный ответ $x\in[0;3)\cup(3;7]$.

Ответ:

$$[0;3)\cup(3;7]$$

Преобразуем неравенство: $$2\left(50^x+8^x\right)>20^x+3\cdot125^x$$ $$2\cdot\left(2^x\cdot5^{2x}\right)+2\cdot2^{3x}-2^{2x}\cdot5^x-3\cdot5^{3x}>0$$

Разделим обе части неравенства на $2^{3x}>0$: $$2\cdot\frac{5^{2x}}{2^{2x}}+2-\frac{5^x}{2^x}-3\cdot\frac{5^{3x}}{2^{3x}}>0$$

Сделаем замену $t=\left(\frac{5}{2}\right)^x>0$. Тогда неравенство примет вид $$2t^2+2-t-3t^3>0$$ $$3t^3-2t^2+t-2<0$$ $$3t^3-3t^2+t^2+t-2<0$$ $$3t^2(t-1)+(t-1)(t+2)<0$$ $$(t-1)(3t^2+t+2)<0$$

Рассмотрим уравнение $3t^2+t+2=0$. Найдем его дискриминант: $$D=1^2-4\cdot3\cdot2=1-24=-23<0$$

Значит, уравнение $3t^2+t+2=0$ не имеет решений. Тогда так как коэффициент при $x^2$ больше 0, то при любом $x$ верно, что $3t^2+t+2>0$. Значит, $$(t-1)(3t^2+t+2)<0$$ $$t-1<0$$ $$t<1$$

Сделаем обратную замену: $$t<1$$ $$\left(\frac{5}{2}\right)^x<1$$ $$x<0$$

Ответ: $$(-\infty;0)$$

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. Заметим, что $\log_{25}A = \frac12\log_5 A$.

Получаем:

$$\frac12\log_5((x-4)(x^2 - 2x - 8)) + 1 \geq 0,5\log_5 (x-4)^2$$

Умножим обе части на $2$:

$$\log_5((x-4)(x^2 - 2x - 8)) + 2 \geq \log_5 (x-4)^2 \Leftrightarrow$$

$$(*) \quad (x - 4)^2 > 0 \Leftrightarrow x \neq 4$$

$$\Leftrightarrow \log_5(25(x-4)(x^2 - 2x - 8)) \geq \log_5 (x-4)^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_5(25(x-4)(x^2 - 2x - 8)) - \log_5 (x-4)^2\geq 0$$

По свойству логарифмов:

$$\log_5\left(\frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8)}{(x-4)^2}\right) \geq 0$$

По методу рационализации:

$$(5 - 1)\left(\frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8)}{(x-4)^2} - 1\right) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8) - (x - 4)^2}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{25(x +2)(x - 4)^2 - (x - 4)^2}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 4)^2(25x + 50 - 1)}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(x - 4)^2(25x + 49)}{(x-4)^2} \geq 0$$

Ответ: $\left[-\frac{49}{25};\, 4\right) \cup (4;\, +\infty)$.