Неравенства

За первые три дня запланировано $3 \times 17 = 51$ доклад. Остаётся $75 - 51 = 24$ доклада, которые делятся поровну между двумя оставшимися днями, значит в последний день будет $\frac{24}{2} = 12$ докладов. Вероятность того, что доклад профессора М. попадёт именно на последний день: $P = \frac{12}{75} = 0{,}16$.

На каждой из развилок (отмеченных точками) паук с вероятностью 0.5 выбирает путь к выходу D. Проложим самый короткий маршрут к нужному выходу:

$$P(D) = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = (0,5)^4 = 0,0625$$

Из диаграммы определяем количество элементарных событий:

• Всего событий: 10 (5 точек вне кругов + 3 в $A$ + 3 в $B$ + 2 в пересечении)
• $P(A) = \frac{3+2}{10} = \frac{5}{10}$
• $P(B) = \frac{3+2}{10} = \frac{4}{10}$
• $P(AB) = \frac{2}{10}$

Вычисляем условную вероятность: $$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{5}{10}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Решение

Математическое ожидание выигрыша:

$$EX = \sum x_i p_i = 10 \cdot \frac{990}{1000} + 50 \cdot \frac{6}{1000} + 100 \cdot \frac{3}{1000} + 5000 \cdot \frac{1}{1000}$$

$$EX = 10 \cdot 0.99 + 50 \cdot 0.006 + 100 \cdot 0.003 + 5000 \cdot 0.001 = 9.9 + 0.3 + 0.3 + 5 = 15,5 \text{ рублей}$$

Разница между ценой билета и мат. ожиданием:

$$50 \text{ руб} - 15,5 \text{ руб} = 34,5 \text{ руб}$$

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$$EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 p_4$$

Подставляем значения из таблицы:

$$EX = (-2) \cdot 0,\!3 + 2 \cdot 0,\!5 + 4 \cdot 0,\!1 + 5 \cdot 0,\!1$$

Вычисляем:

$$EX = -0,\!6 + 1,\!0 + 0,\!4 + 0,\!5 = 1,\!3$$