Неравенства

Решение 1:

Из графика видно, что:

• Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$
• Коэффициент $a = 1$ (парабола стандартного вида)

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9 + 3)^2 - 5 = (-6)^2 - 5 = 36 - 5 = 31$$

Решение 2:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} f(-5) &= -1 \\ f(-3) &= -5 \\ f(-2) &= -4 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 25a - 5b + c = -1 \\ 9a - 3b + c = -5 \\ 4a - 2b + c = -4 \end{cases}$$

Решая систему, получим: $$a = 1, \quad b = 6, \quad c = 4$$

Таким образом: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9)^2 + 6 \cdot (-9) + 4 = 81 - 54 + 4 = 31$$

Проведём прямую, параллельную прямой $MN$ через точку $C$.

Обозначим точки пересечения этой прямой и прямой $AB$ c прямой $MN$ как $G$ и $L$ соответственно.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $\angle A$ и параллельных прямых $CG$ и $MN$ : $$\frac{LG}{AG} = \frac{CN}{AC} = \frac{1}{2}$$ Откуда $LG = \frac{1}{2} AG$. Пусть $LG = a$, тогда $AL = AG + LG = 3a$.

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках для угла $\angle B$ и параллельных прямых $CG$ и $MN$:

$$\frac{BL}{LG} = \frac{BM}{MC} = \frac{1}{3} \Rightarrow BL = \frac{LG}{3} = \frac{a}{3}$$

Тогда искомое отношение: $$\frac{BL}{AL} = \frac{\frac{a}{3}}{3a} = \frac{1}{9}$$

Ответ: $\tfrac{1}{9}$

Точка $E$ – середина стороны $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ $\Rightarrow AE = EC$

Проведём из точки $E$ прямую, параллельную $AD$.

$M$ – точка пересечения этой прямой с прямой $BC$.

Тогда по теореме Фалеса для угла $C$ и параллельных прямых $AD$ и $EM$: $$\frac{EC}{AE} = \frac{CM}{MD} = 1$$

Пусть $BD = 2a$, тогда $DC = 8a$ и $BC = 10a$. Тогда: $$DM = MC = \frac{DC}{2} = 4a$$

По теореме Фалеса для угла $EBC$ и параллельных прямых $AD$ и $EM$ получаем:

$$\frac{BK}{KE} = \frac{BD}{DM} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Проведём из точки $E$ прямую, параллельную $FB$. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной $AC$ за $L$.

По теореме Фалеса для угла $\angle B$ и параллельных прямых $FB$ и $LE$: $$\frac{BE}{EC} = \frac{FL}{LC}$$

Пусть $AC = 11a$, тогда $AF = 6a$, а $FC = 5a$.

По теореме Фалеса для угла $\angle CAE$ и параллельных прямых $FB || LE$: $$\frac{AF}{FL} = \frac{AO}{OE} = 3$$ $$FL = \frac{AF}{3} = 2a$$ $$LC = AC - AL = AC - (AF + FL) = 11a - 6a - 2a = 3a$$

Отсюда: $$\frac{BE}{CE} = \frac{FL}{LC} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

1. Найдём коэффициенты $b$ и $c$:

Из графика известны две точки: $$f(-2) = -2 \quad \text{и} \quad f(1) = 1$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 2 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = -2 \\ 2 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 8 - 2b + c = -2 \\ 2 + b + c = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$

Решим систему: $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$-3b = -9 \Rightarrow b = 3$$ Подставим $b = 3$ во второе уравнение: $$3 + c = -1 \Rightarrow c = -4$$

1. Запишем функцию: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 4$$

2. Вычислим $f(-5)$: $$f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 4 = 2 \cdot 25 - 15 - 4 = 50 - 15 - 4 = 31$$

Ответ 31