Задача с параметром

Разберём первое уравнение системы: $$\begin{cases} x+4>0\\ (y-2)(xy-4)=0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x>-4\\ \left[ \begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac{4}{x}\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Поэтому исходная система равносильна системе: $$\begin{cases} x>-4\\ y=ax\\ \left[ \begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac{4}{x}\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=ax$ - семейство прямых, проходящих через точку $(0;0)$, имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$:

Таким образом собираем ответ:

$a\in (0; 0.25] \cup \{1\}$

Система определена при выполнении условия $y \geq x - 8$.

Тогда система равносильна: $$\begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &xy - x + 8 = 0\\ &y - x + 8 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &y= 1 - \frac{8}{x}\\ &y = x - 8 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=2x + a$ - семейство прямых имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём граничные точки и определим количество решений для всех $a$:

До положения $1$ прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, следовательно система будет иметь ровно 1 решение, что нам не подходит.

От положения $1$ не включительно до положения $2$ включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать прямую $y = x - 8$ и правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{8}{x}$, следовательно система будет иметь ровно 2 решения, что нам подходит.

В положении $2$ прямая $y = 2x + a$ пересекает общую точку пересечения правой ветви гиперболы и прямой $y = x - 8$, что дает нам ровно 2 решения.

От положения $2$ не включительно до положения $3$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам 3 решения системы.

В положении $3$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться правой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения.

От положения $3$ не включительно до положения $4$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 1 решение.

В положении $4$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться левой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения системы.

От положения $4$ не включительно и выше прямая $y = 2x + a$ будет пересекать левую ветвь гиперболы в двух точках и прямую $y = x - 8$, что будет давать нам 3 решения.

Найдём значения параметра в граничных точках:

$$y = 2x + a \Leftrightarrow 0 = 2\cdot8 + a \Leftrightarrow a = -16$$

$$-7 = 2\cdot1 + a \Leftrightarrow a = -9$$

$$2x + a = 1 - \frac{8}{x} \Leftrightarrow \frac{2x^2+ ax- x + 8 }{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^2 + x(a - 1) + 8}{x} = 0$$ Когда данное уравнение будет иметь ровно 1 решение, мы получим значение параметра обеспечивающее нам касание графиков: $$D = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2 - 64 = 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) = 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = 9 \quad \text{или} \quad a = -7$$

Значение $a = -7$ соответствует положению $3$, а значение $a = 9$ соответствует положению $4$.

Следовательно, получаем ответ: $$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$$

$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$

Перепишем уравнение в виде $f(x)=g(x)$, где $$f(x)=\sqrt{9-(x+4)^2}$$ $$g(x)=-a(x-2)+3$$ Графиком $y=f(x)$ является верхняя полуокружность окружности $y^2+(x+4)^2=9$, график $y=g(x)$ представляет собой семейство прямых, проходящих через точку $(2;3)$.

Полученная система имеет единственное решение, когда $y=-a(x-2)+3$ - семейство прямых, проходящих через точку $(2;3)$, имеет с графиком полуокружности ровно одну общую точку. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$:

Таким образом собираем ответ:

$a\in [-1; -\frac{1}{3}) \cup \{0\}$

Преобразуем исходное уравнение: $$|x^2 - 2x| = a(x - 2) - 1$$ Обозначим $f(x) = |x^2 - 2x|$, а $g(x) = a(x - 2) - 1$.

Графиком функции $f(x)$ является парабола, часть которой (ниже оси абсцисс) отражена засчёт модуля.

Графиком функции $g(x)$ является прямая, которая вращается вокруг точки $(2; -1)$.

Построим графики функций и отметим граничные случаи:

Исходное уравнение имеет единственное решение тогда, когда графики функций $f(x)$ и $g(x)$ имеют ровно одну точку пересечения.

На графике отмечены два единственных случая:

1. Прямая $y = a(x - 2) - 1$ касается правой ветви параболы $y = x^2 - 2x, x \geq 2$.

2. Прямая $y = a(x - 2) - 1$ пересекает точку $(0; 0)$.

Рассмотрим первый случай. $$a(x - 2) - 1 = x^2 - 2x \Leftrightarrow x^2-x(a + 2) +2a + 1 = 0$$ $$D = (a + 2)^2 - 4(2a + 1) = 0 \Leftrightarrow a =0 \text{ или } a = 4$$ Нам подходит значение $a = 4$, так как при $a = 0$ прямая будет касаться части параболы, которой не существует на графике.

Рассмотрим второй случай. $$g(0) = 0 \Leftrightarrow a(0 - 2) - 1 = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2}$$

Получаем ответ: $$a \in \left\{-\frac{1}{2};4\right\}$$

Ответ: $\left\{-\frac{1}{2};4\right\}$

Рассмотрим первое уравнение. Оно задаёт окружность с центром в точке $(a;0)$ и радиусом $1$. То есть семейство окружностей, центры которых находятся на оси ОХ.

Второе уравнение образует график модуля (галочка) с вершиной в точке $(3;\frac{1}{2})$ т.к. $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x-3\ge 0\\ y=x-3+\frac{1}{2} \end{cases}\\ &\begin{cases} x-3 <0\\ y=-x+3+\frac{1}{2} \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x\ge 3\\ y=x-2.5 \end{cases}\\ &\begin{cases} x<3\\ y=-x+3.5 \end{cases}\\ \end{aligned}\right.$$

Графики имеют ровно одно пересечение только в двух точках касания прямых и окружности. Найдём их, используя формулу расстояния от точки до прямой (радиуса окружности): $$r=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ Где: $$Ax+By+C=0 - \textit{уравнение прямой}$$ $$(x_0;y_0) - \textit{координаты центра окружности}$$ Подставим числа: $$\left[\begin{aligned} 1=\frac{\mid -a-1\cdot 0+3.5\mid}{\sqrt{1^2+1^2}}\\ \\ 1=\frac{\mid a-1\cdot 0-2.5\mid}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} 1=\frac{\mid 3.5-a\mid}{\sqrt{2}}\\ \\ 1=\frac{\mid a-2.5\mid}{\sqrt{2}} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} 3.5-a=\sqrt{2}\\ a-3.5=\sqrt{2}\\ a-2.5=\sqrt{2}\\ 2.5-a=\sqrt{2} \end{aligned}\right.$$ $$\left[\begin{aligned} a=3.5-\sqrt{2}\\ a=3.5+\sqrt{2}\\ a=\sqrt{2}+2.5\\ a=2.5-\sqrt{2} \end{aligned}\right.$$ Выберем подходящие значения: от первого уравнения (левая ветвь галочки модуля) возьмём наименьшее, потому что наибольшее будет с точкой касания на продолжении прямой вниз, а от второго (правая ветвь галочки модуля) наибольшее аналогично. Таким образом всё уравнение имеет ровно одно решение когда: $$a=3.5-\sqrt{2} \quad \textit{и} \quad a=\sqrt{2}+2.5$$

Ответ: $a\in \{3.5-\sqrt{2}; \sqrt{2}+2.5\}$