Задача с параметром

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При $a = 0$ получаем $x = y = 0$, что противоречит второму уравнению системы. При $a > 0$ уравнение $|x| + |y| = a$ задаёт на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными $2a$. График второго уравнения получается из графика функции $y = \sqrt{x}$, сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.

Из построенного рисунка видно, что при $a = 2$ система имеет ровно одно решение, а при $a = 4$ — три решения. Найдём, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких $a$ уравнение $|x| + \sqrt{x + 4} = a$ имеет единственное решение. Имеем: $$|x| + \sqrt{x + 4} = a \Longleftrightarrow \begin{cases} x \ge 0,\\ \sqrt{x + 4} = a - x, \end{cases} \quad \begin{cases} x < 0,\\ \sqrt{x + 4} = a + x. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x \ge 0,\\ a - x \ge 0,\\ x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 4 = 0, \end{cases} \quad \begin{cases} x < 0,\\ a + x \ge 0,\\ x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 4 = 0. \end{cases}$$

Уравнение $x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 4 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a + 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 17 = 0 \Longleftrightarrow a = -4{,}25.$$

Уравнение $x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 4 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 17 = 0 \Longleftrightarrow a = 4{,}25.$$

Учитывая, что $a > 0$, получаем, что графики уравнений $|x| + |y| = a$ и $y = \sqrt{x + 4}$ касаются при $a = 4{,}25$. При найденном значении абсциссой точки касания является $x = \dfrac{2a - 1}{2} = 3{,}75$, эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при $2 < a < 4$ и $a = 4{,}25$.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4{,}25\}$.

Исходное уравнение равносильно совокупности: $$\left[\begin{aligned} &a + 4x - x^2 - 1 = 0\\ &a + 1 - |x - 2| = 0 \end{aligned}\right.$$ Пусть $a = f(x) = -4x + x^2 + 1$ и $a = g(x) = |x-2| - 1$.

Построим графики данных функций в осях $xOa$:

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с графиком функции даёт ровно 1 решение исходного уравнения. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор пересекает графики в 3 точках.

На рисунке отмечен единственный возможный случай зелёной горизонтальной прямой $a = -1$, так как только при значении параметра $a = -1$ мы будем получать ровно 3 пересечения с графиками функций. В остальных случаях (при смещении вверх или вниз от значения $a = -1$) мы будем получать $0, 1, 2, 4$ решений, что нам не подходит.

Ответ: $-1$

Преобразуем исходное уравнение. Разложим числитель на множители: $$D = (3a - 1)^2 - 4\cdot(2a^2 - 2) = 9a^2 -6a + 1- 8a^2 + 8 = a^2- 6a +9 = (a-3)^2$$ $$x_1 = \frac{3a - 1 + a - 3}{2} = 2a - 2, x_2 = \frac{3a - 1 - a + 3}{2} =a + 1$$

Тогда, исходное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} & a = \frac{1}{2}x - 1\\ & a = x - 1 \end{aligned}\right.\\ x^2 -3x - 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} & a = f(x) =\frac{1}{2}x - 1\\ & a = g(x) = x - 1 \end{aligned}\right.\\ x \neq 4; -1 \end{cases}$$

Построим графики данных функций в осях $xOa$ и отметим ключевые случаи:

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с графиком функции даёт ровно 1 решение исходного уравнения. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор пересекает графики в 1 точке.

Когда прямые $a = x - 1$ и $a = \frac{1}{2}x + 1$ пересекают вертикальные прямые $x = -1$ или $x= 4$, то исходное уравнение имеет либо 1, либо 0 решений.

От $a \in (-\infty; [1])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[1]$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение.

При $a \in ([1]; [2])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[2]$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение.

При $a \in ([2]; [3])$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[3]$ исходное уравнение не будет решений.

При $a \in ([3]; +\infty)$ исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения.

В случае $[1]$ прямая $a = x - 1$ пересекает прямую $x = -1$ в точке $(-1; -2) \Rightarrow a = -2$

В случае $[1]$ прямая $a = \frac{1}{2}x + 1$ пересекает прямую $x = -1$ в точке $(-1; 0.5) \Rightarrow a = \frac{1}{2}$

Ответ: $\{-2; \tfrac{1}{2}\}$

Переформулируем условие задачи. Нам нужно, чтобы пересечение решений неравенств было нулевым.

То есть система $$\begin{cases} (x^2 - a)(a - 2x - 8) > 0\\ x^2 \leq 4 \end{cases}$$ не должна иметь решения.

Преобразуем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < x^2\\ a > 2x + 8 \end{cases}\\ &\begin{cases} a > x^2\\ a < 2x + 8 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ -2\leq x \leq 2 \end{cases}$$

Построим множества решений системы в координатах $xOa$.

Каждая точка множества $S$, которое ограничено кривыми $a = 2x + 8, a = x^2, x = 2$, является решением системы неравенств.

В данной системе координат значение параметра представляет собой горизонтальную прямую-анализатор. Каждое пересечение такой прямой с любой точкой множества $S$ даёт решение системы. Значит, нам подходят только те случаи, при которых прямая-анализатор не имеет общих точек с множеством $S$.

То есть, при $a \in (-\infty; (A)] \cup [(B); +\infty)$ система уравнений не имеет решений.

Ордината (а значит и значение параметра $a$) в точке $A$ равна $0$.

Найдём координаты точки $B$. Точка $B$ – точка пересечения прямой $a = 2x + 8$ и прямой $x = 2$.

Найдём значение параметра (ординату точки $B$): $$a = 2\cdot2 + 8 = 12$$

Значит, итоговый ответ: $$a \in (-\infty; 0] \cup [12; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [12; +\infty)$

Преобразуем исходное неравенство: $$\left|\frac{x^2+x-2a}{x+a}-1\right|\le 2 \;\Longleftrightarrow\; \left|\frac{x^2-3a}{x+a}\right|\le 2 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} |x^2-3a|\le 2|x+a|,\\ x\ne -a, \end{cases}$$ $$\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (x^2-3a)^2-4(x+a)^2\le 0,\\ x\ne -a, \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} (x^2-2x-5a)(x^2+2x-a)\le 0,\\ x\ne -a. \end{cases}$$

В системе координат $xOa$ решением системы являются координаты точек, выделенных оранжевым цветом.

С помощью графика найдём решения неравенства на интервале $(1;2)$:

1. При $a\le -\frac{1}{5}$ неравенство не имеет решений.

2. При $-\frac{1}{5}<a<0$ решением являются все точки, лежащие правее прямой $x=1$, но левее правой ветви параболы

$$a=\frac{1}{5}(x^2-2x),$$ то есть

$$1<x\le 1+\sqrt{1+5a}.$$

1. При $0\le a\le 3$ решением являются все точки между прямыми $x=1$ и $x=2$, то есть

$$1<x<2.$$

1. При $3<a<8$ решением являются все точки, лежащие правее правой ветви параболы $a=x^2+2x$, и левее прямой $x=2$, то есть

$$-1+\sqrt{1+a}\le x<2.$$

1. При $a\ge 8$ неравенство не имеет решений.

Ответ:

$$\left(-\infty;-\frac{1}{5}\right]\cup[8;+\infty).$$