Задача с параметром

Преобразуем первое уравнение: $$x^2 + y^2 - 2a(x + 2y) = 5 - 5a^2$$ $$\Longleftrightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + a^2 + 4a^2 = 5$$ $$\Longleftrightarrow (x - a)^2 + (y - 2a)^2 = 5.$$

Итак, первое уравнение задаёт окружность с центром $O(a; 2a)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Найдём траекторию центра окружности: $$\begin{cases} x = a, \\ y = 2a \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad y = 2x.$$

Таким образом, центр окружности движется по прямой $y = 2x$, а радиус остаётся равным $\sqrt{5}$. Второе уравнение системы задаёт прямую $$y = -\dfrac{1}{2}x.$$

Построим соответствующие графики

Нас интересуют такие значения $a$, при которых окружность пересекает прямую $y = -\dfrac{1}{2}x$. Ключевыми положениями на рисунке будут случаи касания окружности этой прямой.

Заметим, что прямые $y = 2x$ и $y = -\dfrac{1}{2}x$ перпендикулярны. Следовательно, окружность касается прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$ тогда и только тогда, когда её центр находится на расстоянии, равном радиусу, от точки пересечения этих прямых — начала координат.

Изобразим случай касания на рисунке: начало координат обозначим через $A$, центры окружностей в граничных случаях — через $O_1$ и $O_2$.

Пусть $$O_1(a_1; 2a_1), \qquad O_2(a_2; 2a_2),$$ причём $$AO_1 = AO_2 = \sqrt{5}.$$ Очевидно, что $a_1 > 0$, а $a_2 = -a_1$.

Найдём $a_1$ из условия расстояния: $$\sqrt{5} = \rho(O_1; A) = \sqrt{(a_1 - 0)^2 + (2a_1 - 0)^2} = \sqrt{5a_1^2}$$ $$\Longleftrightarrow \quad a_1 = \pm 1.$$

Так как $a_1 > 0$, получаем $$a_1 = 1, \qquad a_2 = -1.$$

Следовательно, при всех $a \in [-1;1]$ (то есть когда центр лежит на отрезке $O_1O_2$, что видно на рисунке) окружность имеет общие точки с прямой $y = -\dfrac{1}{2}x$. Если же $|a| > 1$, пересечений нет.

$$\boxed{a \in [-1;1].}$$

Преобразуем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x^2 + y^2 - 2y = 0\\ &y = -0,5x \end{aligned}\right. \\ y = 2x + 2a\\ y \geq -0,5x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &x^2 + (y - 1)^2 = 1\\ &y = -0,5x \end{aligned}\right. \\ y = 2x + 2a\\ y \geq -0,5x \end{cases}$$

Первое уравнение системы задаёт окружность с центром в точке $(0, 1)$, второе – прямую $y = -0,5x$, а третье – прямую, которая перемещается вверх или вниз в зависимости от параметра $2a$. По условию $y \geq -0,5x$ система имеет смысл тогда, когда все графики находятся выще прямой $y = -0,5x$.

Исходная система будет иметь ровно два различных решения тогда, когда прямая $y = 2x + 2a$ будет пересекать окружность и прямую $y = -0,5x$ в одной точке.

Построим графики и отметим граничные случаи:

Запишем промежуточный ответ: $$a \in \left\{\boxed{1}\right\} \cup \left[\boxed{2}; \boxed{3}\right] \cup \left\{\boxed{4}\right\}$$

Рассмотрим случаи. Найдём касания прямой $y = 2x + 2a$ и окружности (случаи $1$ и $4$):

$$y - 2x - 2a = 0$$

$$\rho = 1 = \frac{|2\cdot0 -1 + 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \Leftrightarrow \sqrt5 = |1 + 2a| \Leftrightarrow a = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}$$

В случае $2$ прямая $y = 2x + 2a$ пересекает точку $(0,0) \Rightarrow a = 0$

В случае $3$ прямая $y = 2a + 2x $ пересекает общую точку пересечения окружности $x^2 + (y - 1)^2 = 1$. $$\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 = 1\\ y = -0,5x \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x = 0\\ y = 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x = -\tfrac{4}{5}\\ y = \frac{2}{5} \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Нам подходит точка $(-0,8; 0,4)$.

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = 2a + 2x$: $$0,4 = 2a - 1,6 \Leftrightarrow a = 1$$

Получаем ответ: $$a \in \left\{\frac{1 - \sqrt5}{2}\right\} \cup [0; 1] \cup \left\{\frac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$$

Ответ: $\left\{\frac{1 - \sqrt5}{2}\right\} \cup [0; 1] \cup \left\{\frac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$

Положим $x^2=t$. Тогда:

• при $t<0$ решений по $x$ нет;
• при $t=0$ получаем одно решение $x=0$;
• при $t>0$ получаем два различных решения $x$.

Тогда система принимает вид $$\begin{cases} t^2+y^2=a^2,\\ t+y=\lvert a+1\rvert. \end{cases}$$

Первое уравнение задаёт либо точку, либо окружность. Случай с точкой нам не подходит, потому что тогда система максимум может иметь одно решение.

Значит, первое уравнение задаёт окружность радиуса $R=\lvert a\rvert$, а второе — прямую. Окружность и прямая могут иметь $0$, $1$ или $2$ точки пересечения. Следовательно, чтобы после обратной замены $t=x^2$ получить четыре решения, необходимо, чтобы прямая имела с окружностью две точки пересечения, причём их абсциссы $t$ были положительными (тогда каждому $t>0$ соответствуют два значения $x$).

Рассмотрим рисунок: подходящими будут те прямые, которые расположены между $AB$ и $CD$.

Выше прямой $AB$: $$\lvert a+1\rvert>EA=R=\lvert a\rvert;$$ ниже прямой $CD$: $$\lvert a+1\rvert<EC=CD:\ \sqrt2=2EF:\ \sqrt2=\sqrt2R=\sqrt2\lvert a\rvert.$$ Следовательно, $$\lvert a\rvert<\lvert a+1\rvert<\sqrt2\lvert a\rvert \Longleftrightarrow \begin{cases} \lvert a+1\rvert>\lvert a\rvert,\\ \lvert a+1\rvert<\sqrt2\lvert a\rvert \end{cases} \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a<-1\\ -a-1>-a\\ -a-1<-\sqrt2a\\[2mm] -1\le a\le 0\\ a+1>-a\\ a+1<-\sqrt2a\\[2mm] a>0\\ a+1>a\\ a+1<\sqrt2a \end{array} \right.$$

Получаем $$a\in\left(-\frac12;\,-\frac{1}{\sqrt2+1}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt2-1};+\infty\right).$$

Ответ: $$a\in(-0{,}5;\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;\,+\infty).$$

Решение.

Решим систему графически. В системе координат $xOy$ графиком первого уравнения является ломаная — совокупность двух лучей, выходящих из точки $(-5;\,0)$ с угловым коэффициентом $k = ±\dfrac{1}{3}$. Графиком второго уравнения является семейство окружностей с центром в точке $(a;\,0)$ и радиусом 2. В зависимости от значения параметра $a$ окружность и ломаная могут не иметь общих точек или иметь одну, две, три или четыре общие точки.

Система имеет четыре решения при $a_1 < a < a_2$, где $a_1$ — абсцисса центра окружности, касающейся ломаной; $a_2$ — абсцисса центра окружности, проходящей через точку $(-5;\,0)$ и имеющей с ломаной три общих точки. Очевидно, что $a_2 = -7$. Найдём $a_1$, используя формулу расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки $(a_1;\,0)$ до прямой $x + 3y + 5 = 0$ должно равняться радиусу окружности:

$$\frac{|a_1 + 3\cdot0 + 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = 2 \;\Longleftrightarrow\; \frac{|a_1 + 5|}{\sqrt{10}} = 2 \;\Longleftrightarrow\; |a_1 + 5| = 2\sqrt{10} \;\Longleftrightarrow\; a_1 = -5 \pm 2\sqrt{10}.$$

По смыслу задачи, $a_1 < -5$, поэтому $a_1 = -5 - 2\sqrt{10}$.

Тем самым система имеет четыре решения при $-5 - 2\sqrt{10} < a < -7$.

Ответ: $\left(-5 - 2\sqrt{10};\,-7\right)$.

Решение.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При $a = 0$ получаем $x = y = 0$, что противоречит второму уравнению системы. Уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ имеет вид квадрата с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными $2a$. График второго уравнения получается из графика функции $y = \sqrt{x}$, сдвигом на девять единиц влево вдоль оси абсцисс.

При $a = 3$ система имеет ровно одно решение, а при $a = 9$ — 3 решения. Найдём, при каком значении параметра график корня касается стороны квадрата. Для этого определим, при каких параметрах $a$ уравнение $|x| + \sqrt{x + 9} = a$ имеет единственное решение. Имеем: $$\begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] |x| + \sqrt{x + 9} = a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] x + \sqrt{x + 9} = a, \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0,\\[2pt] |x| + \sqrt{x + 9} = a \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x < 0,\\[2pt] -x + \sqrt{x + 9} = a. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x \ge 0,\\[2pt] a - x \ge 0,\\[2pt] x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 9 = 0, \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0,\\[2pt] a + x > 0,\\[2pt] x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 9 = 0. \end{cases}$$

Уравнение $x^2 - x(2a + 1) + a^2 - 9 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a + 1)^2 - 4(a^2 - 9) = 0 \Longleftrightarrow 4a + 37 = 0 \Longleftrightarrow a = -9{,}25.$$

Уравнение $x^2 + x(2a - 1) + a^2 - 9 = 0$ имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение $D = 0$: $$(2a - 1)^2 - 4(a^2 - 9) = 0 \Longleftrightarrow -4a + 37 = 0 \Longleftrightarrow a = 9{,}25.$$

Учитывая, что $a > 0$, получаем, что графики уравнений $|x| + |y| = a$ и $y = \sqrt{x + 9}$ касаются при $a = 9{,}25$. При найденном значении $x = \dfrac{2a - 1}{2} = 8{,}75$, эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при $3 < a < 9$ и $a = 9{,}25$.

Ответ: $(3; 9) \cup \{9{,}25\}$.